麦克劳林级数与泰勒级数（仅限HL）

IB 数学 AA HL· Topic 5: Calculus, 5.14· 45 分钟阅读

1. 核心定义★★☆☆☆HL 专属⏱ 15 min

📘 定义

泰勒级数

对于在 $x = a$ （称为展开中心）处无限可微的函数 $f (x)$ ，泰勒级数表达式为：

例:

在任意点 $x = a$ 处展开 $f (x)$

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

📘 定义

麦克劳林级数

泰勒级数的特殊情况，展开中心为 $a = 0$ ，表达式为：

例:

在原点处展开 $f (x)$

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n

📐 例题

求 $f (x) = e^{x}$ 的麦克劳林级数的前3个非零项

1
计算各阶导数并代入 $a = 0$ 求值：
2
$f (x) = e^{x} ⟹ f (0) = 1$ $f^{'} (x) = e^{x} ⟹ f^{'} (0) = 1$ $f^{''} (x) = e^{x} ⟹ f^{''} (0) = 1$
3
代入麦克劳林公式：
4
$n = 0$ term: $\frac{1}{0 !} x^{0} = 1$ $n = 1$ term: $\frac{1}{1 !} x^{1} = x$ $n = 2$ term: $\frac{1}{2 !} x^{2} = \frac{x ^{2}}{2}$
5
最终结果（前3个非零项）：
6
$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$

Exam tip:

考试可能要求你从基本原理推导泰勒或麦克劳林级数的通式，因此请牢记通式形式。

2. 常用麦克劳林级数★★★☆☆HL 专属⏱ 25 min

考试中你需要熟记6个常用麦克劳林级数，以及它们的收敛区间：

函数	麦克劳林级数	收敛区间
$e^{x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x ^{n}}{n !}$	$(- \infty, \infty)$
$sin x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$	$(- \infty, \infty)$
$cos x$	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$	$(- \infty, \infty)$
$ln (1 + x)$	$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n + 1} x ^{n}}{n}$	$(- 1, 1]$
$(1 + x)^{k}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} (n k) x^{n}$	$(- 1, 1)$
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}$	$(- 1, 1)$

📐 例题

利用 $cos x$ 的常用级数求 $cos (2 x)$ 的麦克劳林级数的前4个非零项

1
回忆 $cos u$ 的常用展开式：
2
$\cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \frac{u^6}{6!} + ...$
3
代入 $u = 2 x$ ：
4
$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + ...$
5
化简每个系数：
6
$1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} - \frac{64x^6}{720} = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - \frac{8x^6}{45} + ...$

✓ 快速检测

$ln (1 + x)$ 的麦克劳林级数的收敛区间是？
- $(- \infty, \infty)$
- $[- 1, 1]$
- $(- 1, 1]$
- $(- 1, 1)$
显示答案
2 —
级数 $\sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1} x ^{n}}{n}$ 在 $- 1 < x \leq 1$ 时收敛，在 $x = - 1$ 处发散。

Exam tip:

与在考场上从头推导相比，熟记常用级数每题能节省5-10分钟。

3. 非零中心的泰勒级数★★★★☆HL 专属⏱ 25 min

要围绕任意中心 $a \neq = 0$ 展开函数，我们使用通用泰勒级数公式。一个实用的技巧是换元：令 $u = x - a$ ，将 $f (a + u)$ 展开为关于u的麦克劳林级数，再代回 $u = x - a$ 即可。

📐 例题

求 $f (x) = ln x$ 在中心 $a = 1$ 处的泰勒级数的前3个非零项。

1
计算各阶导数并代入 $a = 1$ 求值：
2
$f (x) = ln x ⟹ f (1) = 0$ $f^{'} (x) = \frac{1}{x} ⟹ f^{'} (1) = 1$ $f^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}} ⟹ f^{''} (1) = - 1$ $f^{'''} (x) = \frac{2}{x ^{3}} ⟹ f^{'''} (1) = 2$
3
代入泰勒公式：
4
$f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 + ...$
5
化简得到前3个非零项：
6
$\ln x \approx (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}$

4. 应用：近似与极限★★★★☆HL 专属⏱ 20 min

麦克劳林/泰勒级数在考试中最常见的两个应用是：近似中心附近的函数值，以及计算用洛必达法则处理会十分繁琐的不定式极限。

📐 例题

用麦克劳林级数计算 $lim_{x \to 0} \frac{e ^{x} - 1 - x}{x ^{2}}$ 。

1
将 $e^{x}$ 的麦克劳林展开式代入分子：
2
$e^x - 1 - x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...\right) - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...$
3
将整个表达式除以 $x^{2}$ ：
4
$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{24} + ...$
5
取 $x \to 0$ 的极限：所有含 $x$ 的项都趋近于0，因此极限为：
6
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$

✓ 快速检测

泰勒级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{( - 1 ) ^{n} ( x - 2 ) ^{n}}{n !}$ 的展开中心是？
- 0
- 2
- -2
- n
显示答案
1 —
泰勒级数的通项为 $\frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}$ ，因此此处 $a = 2$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记级数项分母中的 $n!$

原因:

这是最常见的可避免错误，阅卷人一定会给遗漏阶乘的情况扣分

正确做法:

代入导数值前，先写出带有 $n!$ 的通式

错误做法:

尝试对在0处无定义的函数（例如 $ln x$ ）求麦克劳林级数

原因:

所有导数在0处都无定义，因此无法得到有效的展开式

正确做法:

使用以函数有定义的点为中心的泰勒级数，例如 $ln x$ 取 $a = 1$

错误做法:

忘记将换元后的常数取对应项的幂次，例如错写为 $(k x)^{n} = k x^{n}$

原因:

这会导致第一项之后所有项的系数都出错

正确做法:

代入常用级数时，对每一项都化简 $(k x)^{n} = k^{n} x^{n}$

错误做法:

在收敛区间外使用级数

原因:

在收敛区间外，级数不等于原函数，因此得到的结果没有意义

正确做法:

使用级数前，始终确认你的 $x$ 值位于收敛区间内

错误做法:

将非整数 $k$ 的二项式级数当作有限展开式

原因:

只有当 $k$ 为正整数时，二项式展开才是有限的；对于其他所有 $k$ ，展开式都是无穷的

正确做法:

对于非整数 $k$ ，使用无穷二项式级数，收敛区间为 $(- 1, 1)$

6. 速查表

类型	公式	要点
麦克劳林（中心0）	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n}$	泰勒级数的特殊情况
泰勒（中心 $a$ ）	$\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}$	适用于任意中心 $a$
$e^{x}$	$\sum \frac{x ^{n}}{n !}$	对所有实数x成立
$sin x$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}$	对所有实数x成立
$cos x$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!}$	对所有实数x成立
$ln (1 + x)$	$\sum \frac{( - 1 ) ^{n + 1} x ^{n}}{n}$	$- 1 < x \leq 1$
$(1 + x)^{k}$	$\sum (n k) x^{n}$	$- 1 < x < 1$ , all $k$

7. 常见问题

什么时候需要使用泰勒级数而非麦克劳林级数？

仅当你围绕 $a = 0$ 展开时使用麦克劳林级数。围绕其他任意中心展开，或者函数在 $a = 0$ 处无定义（例如 $ln x$ 不存在麦克劳林级数）时，使用泰勒级数。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 2
泰勒级数近似
2022 · 1
用麦克劳林级数求极限
2023 · 2
麦克劳林级数推导

下一步

麦克劳林级数和泰勒级数是高等微积分的基础工具，应用于误差估计、求解微分方程和数值分析。在IB AA HL中，与本子主题相关的下一个核心主题是拉格朗日误差界，它会教你计算泰勒多项式近似的最大误差。掌握级数展开还能让复杂不定式极限的计算简单很多，也可用于求解许多无法用标准代数方法求解的微分方程。

→微积分基本定理