# 麦克劳林级数与泰勒级数（仅限HL）

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-maclaurin-and-taylor-series/

本模块讲解泰勒级数与麦克劳林级数，它们将无限可微函数表示为无穷多项式展开式。你将学习如何推导展开式，用展开式进行近似，以及求解复杂的极限问题。

**先修:** [初等函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-rules-of-differentiation/); [无穷级数收敛](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-infinite-sequences-and-series/)

## 学习目标

- 写出泰勒级数和麦克劳林级数的通式
- 推导并熟记常用麦克劳林级数展开式
- 求任意非零中心的泰勒级数展开式
- 应用级数近似函数值，计算不定式极限

## 核心定义

**泰勒级数** — 对于在$x=a$（称为展开中心）处无限可微的函数$f(x)$，泰勒级数表达式为：

*例:* 在任意点$x=a$处展开$f(x)$

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$$

**麦克劳林级数** — 泰勒级数的特殊情况，展开中心为$a=0$，表达式为：

*例:* 在原点处展开$f(x)$

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

**例题:** 求$f(x) = e^x$的麦克劳林级数的前3个非零项

1. 计算各阶导数并代入$a=0$求值：
2. $f(x) = e^x \implies f(0) = 1$ 
$f'(x) = e^x \implies f'(0) = 1$ 
$f''(x) = e^x \implies f''(0) = 1$
3. 代入麦克劳林公式：
4. $n=0$ term: $\frac{1}{0!}x^0 = 1$ 
$n=1$ term: $\frac{1}{1!}x^1 = x$ 
$n=2$ term: $\frac{1}{2!}x^2 = \frac{x^2}{2}$
5. 最终结果（前3个非零项）：
6. $$e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2}$$

> **tip**
>
> 永远不要忘记所有级数项分母中的$n!$，这是考试中最常被扣分的错误。

> **考试提示:** 考试可能要求你从基本原理推导泰勒或麦克劳林级数的通式，因此请牢记通式形式。

## 常用麦克劳林级数

考试中你需要熟记6个常用麦克劳林级数，以及它们的收敛区间：

| 函数 | 麦克劳林级数 | 收敛区间 |
| --- | --- | --- |
| $e^x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\sin x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\cos x$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | $(-\infty, \infty)$ |
| $\ln(1+x)$ | $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$ | $(-1, 1]$ |
| $(1+x)^k$ | $\sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n} x^n$ | $(-1, 1)$ |
| $\frac{1}{1-x}$ | $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ | $(-1, 1)$ |

**例题:** 利用$\cos x$的常用级数求$\cos(2x)$的麦克劳林级数的前4个非零项

1. 回忆$\cos u$的常用展开式：
2. $$\cos u = 1 - \frac{u^2}{2!} + \frac{u^4}{4!} - \frac{u^6}{6!} + ...$$
3. 代入$u = 2x$：
4. $$\cos(2x) = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + ...$$
5. 化简每个系数：
6. $$1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} - \frac{64x^6}{720} = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} - \frac{8x^6}{45} + ...$$

**概念自测**

1. $\ln(1+x)$的麦克劳林级数的收敛区间是？

   - $(-\infty, \infty)$
   - $[-1, 1]$
   - $(-1, 1]$
   - $(-1, 1)$

   *答案:* $(-1, 1]$

   *解析:* 级数$\sum \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$在$-1 < x \leq 1$时收敛，在$x=-1$处发散。

> **考试提示:** 与在考场上从头推导相比，熟记常用级数每题能节省5-10分钟。

## 非零中心的泰勒级数

要围绕任意中心$a \neq 0$展开函数，我们使用通用泰勒级数公式。一个实用的技巧是换元：令$u = x - a$，将$f(a+u)$展开为关于u的麦克劳林级数，再代回$u = x-a$即可。

**例题:** 求$f(x) = \ln x$在中心$a=1$处的泰勒级数的前3个非零项。

1. 计算各阶导数并代入$a=1$求值：
2. $f(x) = \ln x \implies f(1) = 0$ 
$f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(1) = 1$ 
$f''(x) = -\frac{1}{x^2} \implies f''(1) = -1$ 
$f'''(x) = \frac{2}{x^3} \implies f'''(1) = 2$
3. 代入泰勒公式：
4. $$f(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x-1)^3 + ...$$
5. 化简得到前3个非零项：
6. $$\ln x \approx (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3}$$

> **warning**
>
> 像$\ln x$这类函数不存在麦克劳林级数，因为它们在$a=0$处无定义。请始终使用以函数有定义的点为中心的泰勒级数。

## 应用：近似与极限

麦克劳林/泰勒级数在考试中最常见的两个应用是：近似中心附近的函数值，以及计算用洛必达法则处理会十分繁琐的不定式极限。

**例题:** 用麦克劳林级数计算$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。

1. 将$e^x$的麦克劳林展开式代入分子：
2. $$e^x - 1 - x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...\right) - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...$$
3. 将整个表达式除以$x^2$：
4. $$\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \frac{x^2}{24} + ...$$
5. 取$x \to 0$的极限：所有含$x$的项都趋近于0，因此极限为：
6. $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{1}{2}$$

**概念自测**

1. 泰勒级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (x-2)^n}{n!}$的展开中心是？

   - 0
   - 2
   - -2
   - n

   *答案:* 2

   *解析:* 泰勒级数的通项为$\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$，因此此处$a=2$。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记级数项分母中的$n!$
  - 原因: 这是最常见的可避免错误，阅卷人一定会给遗漏阶乘的情况扣分
  - 正确做法: 代入导数值前，先写出带有$n!$的通式
- **错误做法:** 尝试对在0处无定义的函数（例如$\ln x$）求麦克劳林级数
  - 原因: 所有导数在0处都无定义，因此无法得到有效的展开式
  - 正确做法: 使用以函数有定义的点为中心的泰勒级数，例如$\ln x$取$a=1$
- **错误做法:** 忘记将换元后的常数取对应项的幂次，例如错写为$(kx)^n = kx^n$
  - 原因: 这会导致第一项之后所有项的系数都出错
  - 正确做法: 代入常用级数时，对每一项都化简$(kx)^n = k^n x^n$
- **错误做法:** 在收敛区间外使用级数
  - 原因: 在收敛区间外，级数不等于原函数，因此得到的结果没有意义
  - 正确做法: 使用级数前，始终确认你的$x$值位于收敛区间内
- **错误做法:** 将非整数$k$的二项式级数当作有限展开式
  - 原因: 只有当$k$为正整数时，二项式展开才是有限的；对于其他所有$k$，展开式都是无穷的
  - 正确做法: 对于非整数$k$，使用无穷二项式级数，收敛区间为$(-1, 1)$

## 速查表

| 类型 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 麦克劳林（中心0） | $\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ | 泰勒级数的特殊情况 |
| 泰勒（中心$a$） | $\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n$ | 适用于任意中心$a$ |
| $e^x$ | $\sum \frac{x^n}{n!}$ | 对所有实数x成立 |
| $\sin x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | 对所有实数x成立 |
| $\cos x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | 对所有实数x成立 |
| $\ln(1+x)$ | $\sum \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ | $-1 < x \leq 1$ |
| $(1+x)^k$ | $\sum \binom{k}{n}x^n$ | $-1 < x < 1$, all $k$ |

## 下一步

麦克劳林级数和泰勒级数是高等微积分的基础工具，应用于误差估计、求解微分方程和数值分析。在IB AA HL中，与本子主题相关的下一个核心主题是拉格朗日误差界，它会教你计算泰勒多项式近似的最大误差。掌握级数展开还能让复杂不定式极限的计算简单很多，也可用于求解许多无法用标准代数方法求解的微分方程。

- [微积分基本定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-fundamental-theorem-of-calculus/)

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