极限与连续性

IB 数学：分析与方法 HL· Topic 5.1· 25 分钟阅读

1. 极限的定义与基本计算★★☆☆☆⏱ 8 min

📘 定义

双侧极限

\lim_{x \to a} f(x) = L

当且仅当 $x \to a^{-}$ 的左极限等于 $x \to a^{+}$ 的右极限，且两者都等于 $L$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限为 $L$ 。

例:

对于 $f (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ ， $lim_{x \to 1} f (x) = 2$

对于连续函数可通过直接代入法计算极限，对于带可去间断点的有理函数可通过因式分解计算。计算无穷远处的极限时，将分子分母同除以分母中 $x$ 的最高次幂即可。

📐 例题

计算 $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x - 2}$

1
首先尝试直接代入：代入 $x = 2$ 得到 $\frac{0}{0}$ ，这是不定式，因此我们对分子因式分解：
2
$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$
3
约去公共因子 $(x - 2)$ ：这是成立的，因为计算极限时我们只考虑x趋近于2附近的值，不等于2，
4
$\lim_{x \to 2} \frac{(x-1)(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x-1)$
5
通过直接代入计算化简后的极限：
6
$\lim_{x \to 2} (x-1) = 2 - 1 = 1$

2. 标准三角极限★★★☆☆⏱ 7 min

IB考试中经常用到两个三角函数的标准极限，需要牢记：

$lim_{θ \to 0} \frac{s i n θ}{θ} = 1$
$lim_{θ \to 0} \frac{1 - c o s θ}{θ} = 0$

📐 例题

计算 $lim_{x \to 0} \frac{s i n 3 x}{x}$

1
将表达式改写为标准形式 $lim_{θ \to 0} \frac{s i n θ}{θ}$ ：
2
$\frac{\sin 3x}{x} = 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}$
3
令 $θ = 3 x$ ，因此当 $x \to 0$ 时， $θ \to 0$ 。代入极限得：
4
$\lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 3 \cdot 1 = 3$

3. 连续性与间断点类型★★★☆☆⏱ 6 min

📘 定义

一点处的连续性

函数 $f (x)$ 在 $x = a$ 处连续当且仅当满足三个条件：1) $f (a)$ 有定义，2) $lim_{x \to a} f (x)$ 存在，3) $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ 。

例:

$f (x) = x^{2}$ 在 $x = 0$ 处连续，因为 $lim_{x \to 0} x^{2} = 0 = f (0)$

间断点分为可去间断点和不可去间断点。不可去间断点包括跳跃间断点和无穷间断点。如果函数在区间内每一点都连续，则函数在该区间上连续。

📐 例题

判断分段函数 $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ x^{2} + 1 3 2 x x < 1 x = 1 x > 1$ 在 $x = 1$ 处是否连续。

1
检验连续性的三个条件：
2
1. $f (1)$ 是否有定义？是的， $f (1) = 3$ 。
3
1. 极限是否存在？计算左右极限：
4
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 +1) = 1 + 1 = 2$
5
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 2x = 2(1) = 2$
6
左右极限相等，因此 $lim_{x \to 1} f (x) = 2$ 存在。
7
1. 极限是否等于 $f (1)$ ？ $lim_{x \to 1} f (x) = 2 \neq = 3 = f (1)$ 。因此函数在 $x = 1$ 处不连续，由于极限存在，这是一个可去间断点。

4. 介值定理★★★★☆⏱ 4 min

📘 定义

介值定理（IVT）

如果 $f (x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续， $N$ 是介于 $f (a)$ 和 $f (b)$ 之间的任意数，则至少存在一个数 $c$ 在 $(a, b)$ 中使得 $f (c) = N$ 。一个常用推论是：如果 $f (a)$ 和 $f (b)$ 符号相反，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个根 $c$ 使得 $f (c) = 0$ 。

📐 例题

证明 $f (x) = x^{3} - x - 1$ 在 $x = 1$ 和 $x = 2$ 之间存在一个根。

1
首先， $f (x)$ 是多项式，因此在全体实数上连续，故在 $[1, 2]$ 上连续。
2
计算 $f (1)$ 和 $f (2)$ ：
3
$f(1) = 1^3 - 1 - 1 = -1 < 0$
4
$f(2) = 8 - 2 - 1 = 5 > 0$
5
根据介值定理，由于 $0$ 介于 $- 1$ 和 $5$ 之间，因此存在 $c \in (1, 2)$ 使得 $f (c) = 0$ ，故该区间内存在一个根。

5. 常见陷阱

错误做法:

假设如果 $f (a)$ 未定义，则 $x \to a$ 的极限不存在

原因:

很多函数存在可去间断点，该点处函数未定义但极限存在

正确做法:

始终先因式分解化简，约去公共因子后再检验极限是否存在

错误做法:

未调整就直接得到 $lim_{x \to 0} \frac{s i n k x}{x} = 1$

原因:

标准极限仅适用于正弦的自变量与分母相等的情况

正确做法:

改写表达式得到 $\frac{s i n k x}{x} = k \cdot \frac{s i n k x}{k x}$ ，因此极限等于 $k$

错误做法:

声称函数在不属于其定义域的点处不连续

原因:

连续性仅对定义域内的点有定义

正确做法:

仅在函数定义域内的点讨论连续性

错误做法:

对不连续的函数使用介值定理

原因:

介值定理仅对连续函数成立；不连续函数可以跳过某个值而不经过它

正确做法:

在证明中应用介值定理前，始终先确认函数在 $[a, b]$ 上连续

错误做法:

忘记双侧极限仅在左右极限相等时才存在

原因:

对于分段函数，单侧极限通常存在但不相等，因此整体极限不存在

正确做法:

在函数定义发生变化的点，始终计算两个单侧极限

6. 速查表

概念	核心结论	备注
双侧极限存在	$lim_{x \to a^{-}} f (x) = lim_{x \to a^{+}} f (x) = L$	与 $f (a)$ 的取值无关
$x = a$ 处连续	$f (a)$ 有定义；2. 极限存在；3. 极限 = $f (a)$	三个条件缺一不可
标准三角极限	$lim_{θ \to 0} \frac{s i n θ}{θ} = 1$ , $lim_{θ \to 0} \frac{1 - c o s θ}{θ} = 0$	考试需要牢记
可去间断点	极限存在，不等于 $f (a)$	可以通过重新定义 $f (a)$ 修正
不可去间断点	极限不存在（跳跃/无穷型）	无法通过重新定义修正
介值定理	在 $[a, b]$ 上连续， $N$ 介于 $f (a), f (b)$ 之间 → 存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f (c) = N$	用于证明根的存在性

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 1
计算有理函数的极限
2022 · Paper 1
证明分段函数的连续性
2021 · Paper 1
判断间断点类型

深入阅读

SyllabusIB官方AA HL微积分教学大纲官方主题参考

下一步

极限与连续性是整个微积分的基础构建块。求导和积分的所有结论都依赖于极限的正式定义，因此掌握本主题会让后续所有微积分主题学习轻松很多。接下来，你将使用极限从第一原理定义导数，这将本主题直接与所有函数类型的求导法则联系起来。连续性也是联系微分与积分的微积分基本定理的关键前提，因此理解连续性对正确求解积分问题至关重要。介值定理也经常在IB HL考试的证明题中考查。