洛必达法则（仅HL）

IB 数学：分析与方法 HL· Unit 5: Calculus· 15 分钟阅读

1. 条件与核心表述★★☆☆☆HL 专属⏱ 5 min

📘 定义

洛必达法则

For $x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )}$

若满足：(1) $lim_{x \to a} f (x) = lim_{x \to a} g (x) = 0$ 或均为 $\pm \infty$ ，(2) $f$ 和 $g$ 在 $a$ 附近可导，(3) $g^{'} (x) \neq = 0$ 在 $a$ 附近成立，(4) $lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ 存在，则 $lim_{x \to a} \frac{f ( x )}{g ( x )} = lim_{x \to a} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ 。该法则适用于单侧极限和无穷远处的极限。

例:

适用于 $lim_{x \to 0} \frac{s i n x}{x}$ ，这是0/0型未定式。

最关键的步骤是确认原极限为未定式。如果原极限不是未定式，应用该法则总会得到错误结果。

📐 例题

验证洛必达法则可应用于 $lim_{x \to 2} \frac{x ^{2} - 4}{x - 2}$ ，然后计算该极限。

1
代入 $x = 2$ 检查是否为未定式：
2
$f(2) = 2^2 - 4 = 0, \quad g(2) = 2 - 2 = 0$
3
我们得到0/0型未定式。两个都是多项式，因此处处可导，且 $g^{'} (x) = 1 \neq = 0$ 对所有 $x$ 成立。所有条件都满足。
4
分别对分子和分母求导：
5
$f'(x) = 2x, \quad g'(x) = 1$
6
计算导数之比的极限：
7
$\lim_{x \to 2} \frac{2x}{1} = 4$
8
根据洛必达法则，原极限等于4。

2. 基本未定式：0/0和∞/∞★★☆☆☆HL 专属⏱ 5 min

如果应用一次洛必达法则后得到的新比值仍然是未定式，只要所有条件仍然满足，就可以再次应用法则。

📐 例题

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{3 x ^{2} - 2 x + 1}{5 x ^{2} + 4}$ 。

1
检查 $x \to \infty$ 时的形式：分子分母都趋近于 $+ \infty$ ，因此是∞/∞型未定式，所有条件都满足。
2
应用洛必达法则：
3
$\lim_{x \to \infty} \frac{6x - 2}{10x}$
4
这仍然是∞/∞型未定式，因此再次应用法则：
5
$\lim_{x \to \infty} \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
6
原极限为 $\frac{3}{5}$ ，和分子分母同除以 $x^{2}$ 得到的结果一致。

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下列哪个极限可以直接应用洛必达法则？
- $lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 1}$
- $lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s x}{x ^{2}}$
- $lim_{x \to 1} \frac{x ^{2} + 1}{x + 1}$
显示答案
1 —
正确。 $lim_{x \to 0} (1 - cos x) = 0$ 且 $lim_{x \to 0} x^{2} = 0$ ，因此这是0/0型未定式。

3. 其他未定式：0×∞和∞−∞★★★☆☆HL 专属⏱ 6 min

洛必达法则仅针对函数比值给出表述，但我们可以将其他未定式整理为0/0或∞/∞型来应用法则。

对于 $0 \times \infty$ ，将乘积改写为分式：把其中一项放到分母，得到 $f (x) g (x) = \frac{f ( x )}{1/ g ( x )}$ ，这样就变成0/0或∞/∞型。对于 $\infty - \infty$ ，将项合并为一个分式，通常通过通分实现。

📐 例题

计算 $lim_{x \to 0^{+}} x ln x$ 。

1
检查形式：当 $x \to 0^{+}$ 时， $x \to 0$ ， $ln x \to - \infty$ ，因此我们得到 $0 \times (- \infty)$ 型未定式。
2
改写为分式得到∞/∞型：
3
$x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$
4
现在 $ln x \to - \infty$ ， $1/ x \to + \infty$ ，因此是∞/∞型。所有条件都满足，应用洛必达法则：
5
分别对分子分母求导：
6
$\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2}$
7
化简导数之比：
8
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$
9
因此 $lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0$ 。

4. 幂型未定式：$0^0, \infty^0, 1^\infty$★★★☆☆HL 专属⏱ 5 min

对于 $lim f (x)^{g (x)}$ 形式的幂型未定式，通过取自然对数将幂转化为乘积，再整理后即可应用洛必达法则。标准步骤为：

令 $y = f (x)^{g (x)}$
取自然对数得： $ln y = g (x) ln f (x)$
用0×∞型的方法计算 $lim ln y$
取指数得到 $lim y = e^{l i m l n y}$

📐 例题

计算 $lim_{x \to 0^{+}} x^{x}$ 。

1
令 $y = x^{x}$ ，对两边取自然对数：
2
$\ln y = x \ln x$
3
我们已经从上一个例题得到 $lim_{x \to 0^{+}} x ln x = 0$ ，因此：
4
$\lim_{x \to 0^+} \ln y = 0$
5
对两边取指数得到原极限：
6
$\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} e^{\ln y} = e^0 = 1$
7
因此 $lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = 1$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

对非未定式极限应用洛必达法则，例如 $lim_{x \to 0} \frac{x}{x + 1}$ 。

原因:

该法则仅当原极限为0/0或∞/∞型时适用。非未定式可以直接计算。

正确做法:

应用法则前，先确认分子分母都趋近于0，或者都趋近于±∞。

错误做法:

使用商的导数法则对整个分式求导，而不是分别对分子和分母求导。

原因:

洛必达法则要求的是各自导数的比值，不是整个比值的导数。

正确做法:

始终写 $\frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ ，而不是 $(\frac{f}{g})^{'} (x)$ 。

错误做法:

当导数之比仍然是未定式时，仅应用一次法则就停止计算。

原因:

如果第一次得到的比值仍然是未定式，你需要再次应用法则才能得到正确结果。

正确做法:

每次应用法则后检查导数之比的形式，如果仍然是未定式就再次应用。

错误做法:

不整理就直接对0×∞、∞−∞或幂型未定式应用法则。

原因:

洛必达法则仅对函数比值的形式有定义，因此直接应用到其他形式是错误的。

正确做法:

应用洛必达法则前，一定要先将表达式整理为0/0或∞/∞型的比值。

6. 速查表

未定式类型	洛必达法则应用方法
0/0, ∞/∞	检查条件后直接应用
0 × ∞	改写为 $\frac{f}{1/ g}$ 得到 0/0 或 ∞/∞
∞ − ∞	合并为一个分式得到 0/0 或 ∞/∞
$0^{0}, \infty^{0}, 1^{\infty}$	取自然对数转化为 0 × ∞

7. 常见问题

应用洛必达法则前我需要检查条件吗？

需要，IB考试阅卷官始终要求你在应用法则前确认极限是未定式，且所有其他条件（可导性、分母导数非零）都满足。跳过这一步会失分。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
计算有理函数的极限
2022 · 2
求指数函数的极限
2023 · 1
计算0×∞型未定式极限

下一步

洛必达法则是IB AA HL中计算未定式极限的核心HL工具，计算反常积分、级数敛散性检验、求数列极限都需要用到它。它常和求导、级数考点一同考察，确认法则的适用条件能帮助你避免在考试中丢失容易得到的分数。掌握这个方法会让你学习更高级的微积分内容轻松很多。

→导数的定义
→求导法则