# 微积分与运动学

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL 第5单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-kinematics-with-calculus/

本模块把 HL 的微分与积分学连接到一维运动学：位移、速度和加速度之间的导数与积分关系，借助三角和指数积分求解的变加速度问题，总路程与净位移的区别，以及解析法（Paper 1）和 GDC（Paper 2）两种方法。

**先修:** [多项式、三角和指数函数的求导，包括链式法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-differentiation-rules/); [定积分与不定积分，包括换元积分法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-integration-techniques-substitution-parts-partial/)

## 学习目标

- 把位移 (displacement)、速度 (velocity) 和加速度 (acceleration) 定义为随时间变化的一维运动函数
- 通过求导和不定/定积分把三个运动学量联系起来
- 由加速度还原速度、由速度还原位移，积分三角函数和指数型运动函数并运用边界条件
- 解答非恒定加速度运动的考试式题目，包括解析法（Paper 1）和 GDC（Paper 2）
- 对改变方向的运动，用 总路程 = |v(t)| 的积分 来区分净位移 (net displacement) 与总路程 (total distance travelled)

## 通过求导建立的核心运动学关系

对沿直线运动的质点，三个核心运动学量通过变化率相互联系。恒定加速度（SUVAT）方程在这里并不适用，因为加速度通常是时间的函数。在 HL 中你会遇到多项式型、三角型、指数型或它们组合的运动函数。

**运动学导数关系** — 速度是位移对时间的一阶导数，加速度是速度对时间的一阶导数，等价地也是位移对时间的二阶导数。

$$v(t) = \frac{ds}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$$

**例题:** 一质点沿直线运动，位移函数为 $s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t$（$t \geq 0$），其中 $s$ 以米为单位，$t$ 以秒为单位。求质点在 $t=2$ 秒时的速度和加速度，并说明该时刻质点在加速还是减速。

1. 把 $s(t)$ 求导一次得到速度：
2. $$v(t) = \frac{ds}{dt} = 6t^2 - 18t + 12$$
3. 代入 $t=2$ 求 2 秒时的速度：
4. $$v(2) = 6(2)^2 - 18(2) + 12 = 24 - 36 + 12 = 0 \text{ m/s}$$
5. 把 $v(t)$ 求导一次得到加速度：
6. $$a(t) = \frac{dv}{dt} = 12t - 18$$
7. 代入 $t=2$ 求 2 秒时的加速度：
8. $$a(2) = 12(2) - 18 = 24 - 18 = 6 \text{ m/s}^2$$
9. 在 $t=2$ 时质点瞬时静止（$v=0$）且即将朝正方向运动，因为 $a(2)>0$。这是运动的一个转折点。

当速度和加速度同号（乘积 $v\cdot a > 0$）时质点在加速，异号（$v\cdot a < 0$）时在减速。这是 HL 里紧跟求导小问后常见的追问。

**概念自测**

确认你理解了这些导数关系：

1. 若 $s(t) = 5\sin(t)$，则 $a(t)$ 是多少？

   - $5\cos(t)$
   - $-5\sin(t)$
   - $-5\cos(t)$
   - $5\sin(t)$

   *解析:* 求导两次：一阶导数是 $5\cos(t)$，二阶导数是 $-5\sin(t)$。

*计算器:* allowed

## 通过积分还原速度与位移

积分是求导的逆运算：对加速度积分得到速度，对速度积分得到位移。每次不定积分都会引入一个常数，需由给定的边界（初始）条件确定。在 HL 中被积函数常是三角型或指数型，所以要善用标准积分，必要时用换元。

$$v(t) = \int a(t)\,dt + c_1, \quad s(t) = \int v(t)\,dt + c_2$$

**例题:** 一质点的速度为 $v(t) = 6t^2 - 18t + 12$（$t \geq 0$）。在 $t=0$ 时质点位移 $s=0$。求位移函数 $s(t)$ 以及 $t=0$ 到 $t=3$ 之间的净位移。

1. 对 $v(t)$ 积分求一般位移函数：
2. $$s(t) = \int (6t^2 - 18t + 12)\,dt = 2t^3 - 9t^2 + 12t + c$$
3. 运用初始条件 $s(0)=0$：$0 = 0 - 0 + 0 + c$，所以 $c=0$。
4. 计算从 $t=0$ 到 $t=3$ 的定积分得到净位移：
5. $$\int_0^3 (6t^2 - 18t + 12)\,dt = \left[2t^3 - 9t^2 + 12t\right]_0^3 = (54 - 81 + 36) - 0 = 9 \text{ m}$$

**例题:** 一质点从静止出发，加速度为 $a(t) = 4\cos(2t)$ m/s$^2$（$t \geq 0$）。已知 $t=0$ 时速度 $v(0)=1$ m/s、位移 $s(0)=0$，求 $v(t)$ 和 $s(t)$。

1. 对加速度积分，用 $\int \cos(kt)\,dt = \frac{1}{k}\sin(kt)$：
2. $$v(t) = \int 4\cos(2t)\,dt = 2\sin(2t) + c_1$$
3. 运用 $v(0)=1$：$2\sin(0) + c_1 = 1$，所以 $c_1 = 1$，$v(t) = 2\sin(2t) + 1$。
4. 对速度积分，用 $\int \sin(kt)\,dt = -\frac{1}{k}\cos(kt)$：
5. $$s(t) = \int \big(2\sin(2t) + 1\big)\,dt = -\cos(2t) + t + c_2$$
6. 运用 $s(0)=0$：$-\cos(0) + 0 + c_2 = 0 \Rightarrow -1 + c_2 = 0$，所以 $c_2 = 1$。
7. $$s(t) = -\cos(2t) + t + 1$$

> **tip**
>
> 净位移可以为负，这表示质点最终停在出发点的负方向一侧，而不是说它走了负的距离。要保留符号，它携带了方向信息。

*计算器:* allowed

## 总路程

> **warning**
>
> 如果质点在时间区间内改变了方向，总路程就不等于净位移。

求总路程时，先找出区间内所有使 $v(t)=0$ 的时刻（质点可能反向的候选点）。在这些根处把区间分段，在每个子区间上对 $|v(t)|$ 积分，再求和。等价地，总路程 $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$。在 Paper 2 中，这个绝对值的单个积分可以直接用 GDC 计算。

$$\text{Total distance} = \int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$$

**例题:** 用速度函数 $v(t) = 6t^2 - 18t + 12$，计算质点在 $t=0$ 到 $t=3$ 之间所走的总路程（解析法）。

1. 求 $v(t)=0$ 的根：分解得 $6(t-1)(t-2)=0$，所以根为 $t=1$ 和 $t=2$。
2. 检验 $v(t)$ 在各区间上的符号：在 $0<t<1$ 上为正，在 $1<t<2$ 上为负，在 $2<t<3$ 上为正。
3. 在每个区间上对 $v(t)$ 的绝对值积分：
4. $$\int_0^1 v(t)\,dt = 5, \quad \int_1^2 -v(t)\,dt = 1, \quad \int_2^3 v(t)\,dt = 5$$
5. 把三个结果相加得到总路程：$5 + 1 + 5 = 11$ m。

**例题:** 一质点以速度 $v(t) = 2\cos(t)$ m/s 运动（$0 \leq t \leq 2\pi$）。求净位移和总路程（Paper 2 / GDC 法）。

1. 净位移是速度在整个区间上带符号的积分：
2. $$\int_0^{2\pi} 2\cos(t)\,dt = \big[2\sin(t)\big]_0^{2\pi} = 0 \text{ m}$$
3. 质点回到出发点，所以净位移为 0，但它显然运动过。用绝对值计算总路程：
4. $$\int_0^{2\pi} |2\cos(t)|\,dt = 8 \text{ m}$$
5. 在 GDC 上直接输入 $\int_0^{2\pi} \text{abs}(2\cos(t))\,dt$ 得到 8 m；无需手工分段。

**考试命令词**

IB 考题在运动学中使用特定的指令词：

- **Find the displacement（求位移）** — 计算位置带符号的净变化；对 $v(t)$ 做一个定积分即可，无需分段

- **Find the total distance travelled（求总路程）** — 对 $|v(t)|$ 积分：在 $v(t)=0$ 的点处分段并对绝对值求和，或在 GDC 上计算绝对值积分

*计算器:* allowed

## 运动学函数的图像解读

| 图像 | 斜率表示 | 曲线下面积表示 |
| --- | --- | --- |
| 位移-时间 | 瞬时速度 | 无标准运动学含义 |
| 速度-时间 | 瞬时加速度 | 净位移（带符号）/ 总路程（不带符号） |
| 加速度-时间 | 加速度的变化率 | 速度的变化 |

**例题:** 一条速度-时间图像是从 $t=0$ 时 $v=4$ m/s 到 $t=3$ 时 $v=-2$ m/s 的一条直线。用面积计算求净位移和总路程。

1. 直线在图像达到零处穿过 $v=0$；由相似三角形可知这发生在 $t=2$。
2. 从 $t=0$ 到 $t=2$ 的正三角形：面积 $= \tfrac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ m。
3. 从 $t=2$ 到 $t=3$ 的负三角形：面积 $= \tfrac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$ m（在坐标轴下方）。
4. 净位移 $= 4 - 1 = 3$ m；总路程 $= 4 + 1 = 5$ m。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 用 $v(t)$ 的单个定积分直接计算总路程
  - 原因: 速度为负的区域会抵消正的位移，得到的是净位移而不是总路径长度
  - 正确做法: 对 $|v(t)|$ 积分：找出区间内 $v(t)$ 的所有根，在这些点处分段并对绝对值求和，或用 GDC 的绝对值积分
- **错误做法:** 把加速度当作位移的一阶导数
  - 原因: 弄错求导顺序会跳过速度这一步，得到错误的单位和数值
  - 正确做法: 按次序来：把位移求导一次得速度，再把速度求导一次得加速度
- **错误做法:** 求 $v(t)$ 或 $s(t)$ 时忘记积分常数
  - 原因: 不定积分会产生一个任意常数，它确定初始速度或位置
  - 正确做法: 在最终确定函数前，用给定的边界条件（如 $v(0)=1$、$s(0)=3$）求出常数
- **错误做法:** 积分 $\sin(kt)$ 或 $\cos(kt)$ 时丢掉 $\tfrac{1}{k}$ 因子
  - 原因: 对内层函数 $kt$ 应用链式法则会给积分带来缩放；忽略它会使速度和位移相差一个 $k$ 倍
  - 正确做法: 仔细运用 $\int\cos(kt)\,dt=\tfrac{1}{k}\sin(kt)$ 和 $\int\sin(kt)\,dt=-\tfrac{1}{k}\cos(kt)$
- **错误做法:** 以为加速度为零时速度也为零
  - 原因: 加速度为零意味着速度瞬时保持不变（$v$ 的转折点），而不是速度等于零
  - 正确做法: 明确令 $v(t)=0$，找出质点瞬时静止或改变方向的位置
- **错误做法:** 把加速度单位写成 m/s
  - 原因: 加速度是速度的变化率，所以单位是米每二次方秒
  - 正确做法: 始终确认单位与量相符：位移 m，速度 m/s，加速度 m/s$^2$

## 速查表

| 量 | 数学关系 | 标准单位 |
| --- | --- | --- |
| 位移 $s(t)$ | $s(t) = \int v(t)\,dt + c$ | m |
| 速度 $v(t)$ | $v(t) = \frac{ds}{dt} = \int a(t)\,dt + c$ | m/s |
| 加速度 $a(t)$ | $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}$ | m/s² |
| 净位移 $t_1$ 到 $t_2$ | $\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$ | m |
| 总路程 $t_1$ 到 $t_2$ | $\int_{t_1}^{t_2} \|v(t)\|\,dt$ | m |
| 加速 / 减速 | $v\cdot a>0$ 加速；$v\cdot a<0$ 减速 | — |

## 下一步

掌握微积分运动学是高频高产的 HL 技能，几乎出现在每一份 IB Math AA HL Paper 2 中，常值 6-9 分，也以解析形式出现在 Paper 1 上。它把你的求导和积分功底（包括三角、指数积分和换元）与函数求根分析和定积分计算融合在一起。预计这些思路会在相关变化率、最优化和建模等更长的应用微积分题目中再次出现，要做好准备，在精确的解析运算（Paper 1）与高效地用 GDC 计算总路程积分（Paper 2）之间流畅切换。

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