积分技巧：换元法、分部积分、部分分式

IB 数学 AA HL· 5.9 核心积分技巧· 20 分钟阅读

1. 复合被积函数的u换元法★★☆☆☆⏱ 6 min

📘 定义

u换元法

$u = g (x)$

一种反向链式法则技巧，用于计算形如 $f (g (x)) g^{'} (x)$ 的复合函数积分。它通过将内层函数 $g (x)$ 替换为 $u$ 来简化积分。

例:

对于 $e x t cos (x^{2}) \times 2 x$ ，取 $u = x^{2}$

📐 例题

求不定积分 $ \int 2x \cos(x^2) dx $,

1
1. 识别内层函数，其导数作为因子出现在被积函数中： $g (x) = x^{2}$ ， $g^{'} (x) = 2 x$ ，与额外因子匹配。
2
1. 换元 $u = x^{2}$ ，可得：
3
$\frac{du}{dx} = 2x \implies du = 2x dx$
4
1. 用 $u$ 重写积分：
5
$\int \cos(u) du$
6
1. 对 $u$ 积分：
7
$\sin(u) + C$
8
1. 回代 $u = x^{2}$ 得到最终结果：
9
$\sin(x^2) + C$

2. 乘积积分的分部积分法★★★☆☆⏱ 7 min

📘 定义

分部积分法

$\int u d v = uv - \int v d u$

由微分乘积法则推导得出的技巧，用于对无法通过换元简化的函数乘积进行积分。

📐 例题

计算 $ \int x e^x dx $,

1
1. 将求导后会简化的函数选为 $u$ ，将容易积分的函数选为 $d v$ ，我们令：
2
$u = x, \quad dv = e^x dx$
3
1. 计算 $d u$ （对 $u$ 求导）和 $v$ （对 $d v$ 积分）：
4
$du = dx, \quad v = e^x$
5
1. 应用分部积分公式：
6
$uv - \int v \ du = x e^x - \int e^x dx$
7
1. 对剩余的简单积分进行计算并化简：
8
$x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$

Exam tip:

考试中务必写出你对 $u, d v, d u, v$ 的换元，这样即使出现小的计算错误也能拿到全部方法分。

3. 有理被积函数的部分分式法★★★★☆⏱ 7 min

📘 定义

部分分式分解

该方法将真分式（分子次数 < 分母次数）拆分为多个更简单分式的和，再逐项积分。

📐 例题

求 $ \int \frac{3x + 1}{x^2 + x - 2} dx $,

1
1. 对分母因式分解：
2
$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$
3
1. 为不同的一次因式建立部分分式分解：
4
$\frac{3x + 1}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$
5
1. 两边同乘分母，求解常数 $A$ 和 $B$ ：
6
$3x + 1 = A(x-1) + B(x+2)$
7
代入 $x = 1$ : $4 = 3 B ⟹ B = \frac{4}{3}$ 。代入 $x = - 2$ : $- 5 = - 3 A ⟹ A = \frac{5}{3}$ 。
8
1. 重写积分，逐项积分：
9
$\int \left( \frac{5}{3(x+2)} + \frac{4}{3(x-1)} \right) dx$
10
$\frac{5}{3} \ln|x+2| + \frac{4}{3} \ln|x-1| + C$

4. 常见陷阱

错误做法:

定积分换元时忘记更改积分限

原因:

你会在原x积分限处计算u的原函数，得到错误结果

正确做法:

要么更改积分限匹配u，要么回代为x后再计算定积分

错误做法:

分部积分中选错u

原因:

得到的积分比原积分更复杂，无法求解

正确做法:

遵循LIATE口诀为问题选择正确的u

错误做法:

部分分式分解中，分子次数≥分母次数时跳过多项式除法

原因:

部分分式分解的结构会出错，导致系数错误

正确做法:

始终先比较次数，做除法得到一个多项式加一个真分式后再分解

错误做法:

不定积分忘记加积分常数 $C$

原因:

会在考试中丢失本应拿到的方法分，且原函数不完整

正确做法:

任何不定积分计算完成后都要加上 $+ C$

错误做法:

积分 $\frac{1}{u}$ 时省略绝对值符号

原因:

自然对数仅对正自变量有定义，因此解不完整

正确做法:

积分 $\frac{1}{u}$ 时始终将结果写为 $ln ∣ u ∣ + C$

5. 速查表

技巧	适用场景	核心公式/法则
u换元法	复合函数 $f (g (x)) g^{'} (x)$	$\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int f (u) d u, u = g (x)$
分部积分法	两个函数的乘积	$\int u d v = uv - \int v d u$
部分分式法	真有理函数	分解为简单分式，逐项积分
LIATE法则（分部积分用）	选择 $u$	对数 > 反三角 > 代数 > 三角 > 指数

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · P1
使用分部积分计算定积分
2022 · P2
结合三种积分技巧
2021 · P1
使用部分分式计算积分

深入阅读

下一步

这三种积分技巧构成了IB AA HL所有高级积分内容的基础。你会在各类应用中持续用到它们，比如求曲线间面积、计算旋转体体积、求解一阶和二阶微分方程。掌握为给定积分选择正确技巧的能力是考试成功最重要的技能之一，因为大多数非基础积分题都需要你独立判断正确方法，很多题还需要结合多种方法。