# 积分技巧：换元法、分部积分、部分分式

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-integration-techniques-substitution-parts-partial/

本模块涵盖IB AA HL的三种核心高级积分技巧：用于复合函数的u换元法、用于乘积积分的分部积分法，以及用于有理被积函数的部分分式分解。你将学习如何为任意积分选择正确的方法。

**先修:** [基础求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-differentiation-rules/); [标准函数的基础原函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-basic-antiderivatives/)

## 学习目标

- 判断给定积分应使用换元法、分部积分还是部分分式
- 使用每种技巧正确计算不定积分和定积分
- 解决需要结合多种积分方法的考题

## 复合被积函数的u换元法

**u换元法** — 一种反向链式法则技巧，用于计算形如 $f(g(x))g'(x)$ 的复合函数积分。它通过将内层函数 $g(x)$ 替换为 $u$ 来简化积分。

*记法:* $u = g(x)$

*例:* 对于 $\text{cos}(x^2) \times 2x$，取 $u = x^2$

**例题:** 求不定积分 $
  \int 2x \cos(x^2) dx
$,

1. 1. 识别内层函数，其导数作为因子出现在被积函数中：$g(x) = x^2$，$g'(x) = 2x$，与额外因子匹配。
2. 2. 换元 $u = x^2$，可得：
3. $$\frac{du}{dx} = 2x \implies du = 2x dx$$
4. 3. 用 $u$ 重写积分：
5. $$\int \cos(u) du$$
6. 4. 对 $u$ 积分：
7. $$\sin(u) + C$$
8. 5. 回代 $u = x^2$ 得到最终结果：
9. $$\sin(x^2) + C$$

> **定积分提示**
>
> 对于定积分，你可以将积分限更改为对应 $u$ 的范围，或者回代为 $x$ 后再代入原积分限计算。两种方法结果相同。

## 乘积积分的分部积分法

**分部积分法** — 由微分乘积法则推导得出的技巧，用于对无法通过换元简化的函数乘积进行积分。

*记法:* $\int u \ dv = uv - \int v \ du$

**例题:** 计算 $
  \int x e^x dx
$,

1. 1. 将求导后会简化的函数选为 $u$，将容易积分的函数选为 $dv$，我们令：
2. $$u = x, \quad dv = e^x dx$$
3. 2. 计算 $du$（对 $u$ 求导）和 $v$（对 $dv$ 积分）：
4. $$du = dx, \quad v = e^x$$
5. 3. 应用分部积分公式：
6. $$uv - \int v \ du = x e^x - \int e^x dx$$
7. 4. 对剩余的简单积分进行计算并化简：
8. $$x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

> **选择u的LIATE法则**
>
> $u$ 的优先级顺序：**对**数函数 > **反**三角函数 > **代**数函数 > **三**角函数 > **指**数函数。乘积中第一个符合优先级的函数就是 $u$。

> **考试提示:** 考试中务必写出你对 $u, dv, du, v$ 的换元，这样即使出现小的计算错误也能拿到全部方法分。

## 有理被积函数的部分分式法

**部分分式分解** — 该方法将真分式（分子次数 < 分母次数）拆分为多个更简单分式的和，再逐项积分。

**例题:** 求 $
  \int \frac{3x + 1}{x^2 + x - 2} dx
$,

1. 1. 对分母因式分解：
2. $$x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$$
3. 2. 为不同的一次因式建立部分分式分解：
4. $$\frac{3x + 1}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$$
5. 3. 两边同乘分母，求解常数 $A$ 和 $B$：
6. $$3x + 1 = A(x-1) + B(x+2)$$
7. 代入 $x=1$: $4 = 3B \implies B = \frac{4}{3}$。代入 $x=-2$: $-5 = -3A \implies A = \frac{5}{3}$。
8. 4. 重写积分，逐项积分：
9. $$\int \left( \frac{5}{3(x+2)} + \frac{4}{3(x-1)} \right) dx$$
10. $$\frac{5}{3} \ln|x+2| + \frac{4}{3} \ln|x-1| + C$$

> **warning**
>
> 如果分子次数大于等于分母次数，你必须先做多项式长除法，再分解为部分分式。

## 常见错误

- **错误做法:** 定积分换元时忘记更改积分限
  - 原因: 你会在原x积分限处计算u的原函数，得到错误结果
  - 正确做法: 要么更改积分限匹配u，要么回代为x后再计算定积分
- **错误做法:** 分部积分中选错u
  - 原因: 得到的积分比原积分更复杂，无法求解
  - 正确做法: 遵循LIATE口诀为问题选择正确的u
- **错误做法:** 部分分式分解中，分子次数≥分母次数时跳过多项式除法
  - 原因: 部分分式分解的结构会出错，导致系数错误
  - 正确做法: 始终先比较次数，做除法得到一个多项式加一个真分式后再分解
- **错误做法:** 不定积分忘记加积分常数 $C$
  - 原因: 会在考试中丢失本应拿到的方法分，且原函数不完整
  - 正确做法: 任何不定积分计算完成后都要加上 $+C$
- **错误做法:** 积分 $\frac{1}{u}$ 时省略绝对值符号
  - 原因: 自然对数仅对正自变量有定义，因此解不完整
  - 正确做法: 积分 $\frac{1}{u}$ 时始终将结果写为 $\ln|u| + C$

## 速查表

| 技巧 | 适用场景 | 核心公式/法则 |
| --- | --- | --- |
| u换元法 | 复合函数 $f(g(x))g'(x)$ | $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du, u=g(x)$ |
| 分部积分法 | 两个函数的乘积 | $\int u dv = uv - \int v du$ |
| 部分分式法 | 真有理函数 | 分解为简单分式，逐项积分 |
| LIATE法则（分部积分用） | 选择 $u$ | 对数 > 反三角 > 代数 > 三角 > 指数 |

## 下一步

这三种积分技巧构成了IB AA HL所有高级积分内容的基础。你会在各类应用中持续用到它们，比如求曲线间面积、计算旋转体体积、求解一阶和二阶微分方程。掌握为给定积分选择正确技巧的能力是考试成功最重要的技能之一，因为大多数非基础积分题都需要你独立判断正确方法，很多题还需要结合多种方法。

- [一阶微分方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-first-order-differential-equations/)
- [积分的应用：面积与旋转体体积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-applications-of-integration-area-and/)

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