不定积分与定积分

IB 数学：分析与方法 HL· 5.1, 5.2· 10 分钟阅读

1. 不定积分与原函数★★☆☆☆⏱ 15 min

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📘 定义

不定积分

\int f(x) dx = F(x) + C

函数 $f (x)$ 的所有原函数的集合称为 $f (x)$ 的不定积分，其中 $F^{'} (x) = f (x)$ ， $C$ 为任意积分常数。

例:

$\int 2 x d x = x^{2} + C$

不定积分没有固定的上下限，因此它表示一族仅相差一个常数垂直平移的无穷多函数。同一函数的任意两个原函数之间恰好相差这个常数。

📐 例题

求 $f (x) = 3 x^{2} + 2 sin x$ 的不定积分

1
回顾基本积分法则： $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ 对 $n \neq = - 1$ 成立，且 $\int sin x d x = - cos x + C$ 。应用积分的线性性质：
2
$\int (3x^2 + 2\sin x) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2(-\cos x) + C$
3
化简得到最终通式：
4
$x^3 - 2\cos x + C$

Exam tip:

如果在不定积分的答案中省略积分常数 $C$ ，你会在考试中丢失1分。永远不要忘记添加它。

2. 定积分与净带符号面积★★☆☆☆⏱ 15 min

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📘 定义

定积分

\int_a^b f(x) dx

对于区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f (x)$ ，定积分等于由 $y = f (x)$ 、x轴、 $x = a$ 和 $x = b$ 围成的净带符号面积。x轴上方的面积为正，下方的面积为负。

例:

$\int_{0}^{2} 2 x d x = 4$ ，等于0到2之间直线下三角形的面积。

区分净带符号面积（即定积分的值）和总几何面积非常关键。如果题目要求曲线与x轴之间的总面积，你必须在每个x截点处拆分积分，然后将每个分段积分的绝对值相加。

📐 例题

利用面积的几何意义计算 $\int_{- 1}^{1} x d x$

1
画出 $y = x$ 在 $[- 1, 1]$ 上的图像。图像形成两个全等的直角三角形：一个在x轴上方，x从0到1，另一个在x轴下方，x从-1到0。
2
计算每个三角形的带符号面积：上方三角形面积为 $\frac{1}{2} (1) (1) = 0.5$ ，下方三角形带符号面积为 $- 0.5$ 。
3
将带符号面积相加得到最终结果：
4
$\int_{-1}^1 x dx = 0.5 - 0.5 = 0$

3. 微积分基本定理★★★☆☆⏱ 20 min

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微积分基本定理（FTC）统一了积分的两个概念（原函数和面积），提供了一种无需手动计算面积即可求解定积分的简单方法。

📘 定义

微积分基本定理（第二部分）

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续， $F (x)$ 是 $f (x)$ 的任意一个原函数（即 $F^{'} (x) = f (x)$ ），则有： $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

📐 例题

利用微积分基本定理计算 $\int_{1}^{3} (2 x + e^{x}) d x$

1
首先求一般原函数（即不定积分）：
2
$\int (2x + e^x) dx = x^2 + e^x + C$
3
忽略积分常数（它会被抵消），分别代入上限 $b = 3$ 和下限 $a = 1$ 计算：
4
$F(3) = 3^2 + e^3 = 9 + e^3, \quad F(1) = 1^2 + e^1 = 1 + e$
5
用上限结果减去下限结果得到最终答案：
6
$\int_1^3 (2x + e^x) dx = (9 + e^3) - (1 + e) = 8 + e^3 - e$

Exam tip:

永远记住计算上限减下限。交换顺序会得到正确答案的相反数，会丢失分数。

4. 常见陷阱

错误做法:

在不定积分答案中省略积分常数 $C$

原因:

IB阅卷官会明确对遗漏 $C$ 扣分，因为它是表示完整原函数族所必需的

正确做法:

永远在不定积分结果的末尾加上 $+ C$

错误做法:

计算定积分时算成 $F (a) - F (b)$ 而不是 $F (b) - F (a)$

原因:

交换积分限的顺序会导致最终答案符号错误

正确做法:

记住：上限（第二个数）减去下限（第一个数）

错误做法:

计算穿过x轴的函数的定积分时，将所有面积都视为正

原因:

定积分的结果是净带符号面积，不是总几何面积

正确做法:

定积分保留符号；如果题目要求总面积，则拆分积分后将各段的绝对值相加

错误做法:

检验原函数时忘记积分是微分的逆运算

原因:

对结果求导是验证原函数是否正确的最快方法

正确做法:

永远对最终得到的原函数求导，检验它是否等于原被积函数

5. 速查表

概念	记号	核心法则
不定积分	$\int f (x) d x$	原函数族： $F (x) + C$
定积分	$\int_{a}^{b} f (x) d x$	$x = a$ 到 $x = b$ 之间的净带符号面积
FTC 计算	$\int_{a}^{b} f (x) d x$	$F (b) - F (a)$ ，其中 $F^{'} (x) = f (x)$
积分常数	$C$	仅不定积分需要

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

掌握不定积分和定积分的核心定义与法则，是学习IB AA HL后续所有积分主题的必要基础。所有高级技巧，包括换元积分法、分部积分法、部分分式积分法，以及积分在求曲线间面积、旋转体体积中的应用，都依赖你正确运用这些核心概念的能力。定期练习区分不定积分与定积分、应用微积分基本定理，会让所有更高级的积分主题更容易掌握。