# 不定积分与定积分

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL 第5单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-indefinite-and-definite-integration/

本小节介绍不定积分和定积分的核心定义，通过微积分基本定理建立积分与微分的联系，为IB AA HL中所有高级积分技巧奠定基础。

**先修:** [多项式、三角函数和指数函数的基本求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-basic-differentiation-rules/); 曲线下面积的概念

## 学习目标

- 区分不定积分和定积分及其核心性质
- 应用微积分基本定理计算定积分
- 认识积分与求导的互逆关系

## 不定积分与原函数

**不定积分** — 函数 $f(x)$ 的所有原函数的集合称为 $f(x)$ 的不定积分，其中 $F'(x) = f(x)$，$C$ 为任意积分常数。

*记法:* \int f(x) dx = F(x) + C

*例:* $\int 2x dx = x^2 + C$

不定积分没有固定的上下限，因此它表示一族仅相差一个常数垂直平移的无穷多函数。同一函数的任意两个原函数之间恰好相差这个常数。

**例题:** 求 $f(x) = 3x^2 + 2\sin x$ 的不定积分

1. 回顾基本积分法则：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ 对 $n \neq -1$ 成立，且 $\int \sin x dx = -\cos x + C$。应用积分的线性性质：
2. $$\int (3x^2 + 2\sin x) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2(-\cos x) + C$$
3. 化简得到最终通式：
4. $$x^3 - 2\cos x + C$$

> **考试提示:** 如果在不定积分的答案中省略积分常数 $C$，你会在考试中丢失1分。永远不要忘记添加它。

*计算器:* forbidden

## 定积分与净带符号面积

**定积分** — 对于区间 $[a,b]$ 上的连续函数 $f(x)$，定积分等于由 $y=f(x)$、x轴、$x=a$ 和 $x=b$ 围成的净带符号面积。x轴上方的面积为正，下方的面积为负。

*记法:* \int_a^b f(x) dx

*例:* $\int_0^2 2x dx = 4$，等于0到2之间直线下三角形的面积。

区分净带符号面积（即定积分的值）和总几何面积非常关键。如果题目要求曲线与x轴之间的总面积，你必须在每个x截点处拆分积分，然后将每个分段积分的绝对值相加。

**例题:** 利用面积的几何意义计算 $\int_{-1}^1 x dx$

1. 画出 $y=x$ 在 $[-1,1]$ 上的图像。图像形成两个全等的直角三角形：一个在x轴上方，x从0到1，另一个在x轴下方，x从-1到0。
2. 计算每个三角形的带符号面积：上方三角形面积为 $\frac{1}{2}(1)(1) = 0.5$，下方三角形带符号面积为 $-0.5$。
3. 将带符号面积相加得到最终结果：
4. $$\int_{-1}^1 x dx = 0.5 - 0.5 = 0$$

*计算器:* forbidden

## 微积分基本定理

微积分基本定理（FTC）统一了积分的两个概念（原函数和面积），提供了一种无需手动计算面积即可求解定积分的简单方法。

**微积分基本定理（第二部分）** — 如果 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数（即 $F'(x) = f(x)$），则有：$$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$$

**例题:** 利用微积分基本定理计算 $\int_1^3 (2x + e^x) dx$

1. 首先求一般原函数（即不定积分）：
2. $$\int (2x + e^x) dx = x^2 + e^x + C$$
3. 忽略积分常数（它会被抵消），分别代入上限 $b=3$ 和下限 $a=1$ 计算：
4. $$F(3) = 3^2 + e^3 = 9 + e^3, \quad F(1) = 1^2 + e^1 = 1 + e$$
5. 用上限结果减去下限结果得到最终答案：
6. $$\int_1^3 (2x + e^x) dx = (9 + e^3) - (1 + e) = 8 + e^3 - e$$

> **考试提示:** 永远记住计算上限减下限。交换顺序会得到正确答案的相反数，会丢失分数。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 在不定积分答案中省略积分常数 $C$
  - 原因: IB阅卷官会明确对遗漏 $C$ 扣分，因为它是表示完整原函数族所必需的
  - 正确做法: 永远在不定积分结果的末尾加上 $+C$
- **错误做法:** 计算定积分时算成 $F(a) - F(b)$ 而不是 $F(b) - F(a)$
  - 原因: 交换积分限的顺序会导致最终答案符号错误
  - 正确做法: 记住：上限（第二个数）减去下限（第一个数）
- **错误做法:** 计算穿过x轴的函数的定积分时，将所有面积都视为正
  - 原因: 定积分的结果是净带符号面积，不是总几何面积
  - 正确做法: 定积分保留符号；如果题目要求总面积，则拆分积分后将各段的绝对值相加
- **错误做法:** 检验原函数时忘记积分是微分的逆运算
  - 原因: 对结果求导是验证原函数是否正确的最快方法
  - 正确做法: 永远对最终得到的原函数求导，检验它是否等于原被积函数

## 速查表

| 概念 | 记号 | 核心法则 |
| --- | --- | --- |
| 不定积分 | $\int f(x) dx$ | 原函数族：$F(x) + C$ |
| 定积分 | $\int_a^b f(x) dx$ | $x=a$ 到 $x=b$ 之间的净带符号面积 |
| FTC 计算 | $\int_a^b f(x) dx$ | $F(b) - F(a)$，其中 $F'(x)=f(x)$ |
| 积分常数 | $C$ | 仅不定积分需要 |

## 下一步

掌握不定积分和定积分的核心定义与法则，是学习IB AA HL后续所有积分主题的必要基础。所有高级技巧，包括换元积分法、分部积分法、部分分式积分法，以及积分在求曲线间面积、旋转体体积中的应用，都依赖你正确运用这些核心概念的能力。定期练习区分不定积分与定积分、应用微积分基本定理，会让所有更高级的积分主题更容易掌握。

- [积分技巧：换元法、分部积分、部分分式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-integration-techniques-substitution-parts-partial/)
- [积分的应用：面积与旋转体体积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-applications-of-integration-area-and/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-indefinite-and-definite-integration/