隐函数、参数函数与对数求导法

IB 数学分析与方法 HL· AA HL 5.4 Differentiation techniques· 15 分钟阅读

1. 隐函数求导★★★☆☆⏱ 5 min

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📘 定义

隐函数求导法

对隐关系式两边关于 $x$ 求导，对所有含 $y$ 的项应用链式法则的过程。

例:

适用于难以整理为 $y = f (x)$ 的关系式，例如 $x^{2} + y^{3} = x y$ 。

根据链式法则，任意关于y的函数对x求导可得恒等式：

\frac{d}{dx}\left[f(y)\right] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}

📐 例题

求 $x^{2} + y^{2} = 25$ 的 $\frac{d y}{d x}$ ，然后计算点 $(3, 4)$ 处的梯度。

1
对等式两边各项关于 $x$ 求导：
2
$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$
3
整理方程分离出 $\frac{d y}{d x}$ ：
4
$2y \frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$
5
代入点 $(3, 4)$ 得到梯度：
6
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(3,4)} = -\frac{3}{4}$

Exam tip:

永远不要忘记对含 $y$ 的项应用链式法则因子。

2. 参数方程求导法★★★★☆⏱ 5 min

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对于参数函数 $x = x (t)$ 和 $y = y (t)$ ，我们整理链式法则得到y对x的导数：

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \quad \frac{dx}{dt} \neq 0

对于二阶导数，由于我们是对 $x$ 而非 $t$ 求导，因此需要再次应用链式法则：

\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}

📐 例题

已知 $x = 2 t^{3} + 1$ ， $y = 4 t^{2} - t$ ，求以t表示的 $\frac{d y}{d x}$ ，然后计算t=1处的梯度。

1
分别对x和y关于t求导：
2
$\frac{dx}{dt} = 6t^2, \quad \frac{dy}{dt} = 8t - 1$
3
应用参数求导公式：
4
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{8t - 1}{6t^2}$
5
代入t=1得到梯度：
6
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=1} = \frac{8(1) - 1}{6(1)^2} = \frac{7}{6}$

3. 对数求导法★★★★☆⏱ 5 min

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对数求导法是求解两类难以用基础法则求导的函数的首选方法：1）形如 $y = f (x)^{g (x)}$ 的函数（底数和指数均为变量），以及2）多个函数的复杂乘积、商或幂次。

该方法遵循四个核心步骤：1）对等式两边取自然对数，2）用对数运算法则展开，3）关于x隐式求导，4）乘以y分离出 $\frac{d y}{d x}$ 。

📐 例题

对 $y = \frac{x ^{2} x + 1}{( x + 2 ) ^{3}}$ 关于x求导。

1
对两边取自然对数，然后用对数法则展开：
2
$\ln y = 2\ln x + \frac{1}{2}\ln(x+1) - 3\ln(x+2)$
3
对两边关于x隐式求导：
4
$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{x+2}$
5
乘以y并代入y的原表达式：
6
$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \sqrt{x+1}}{(x+2)^3} \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{x+2} \right)$

4. 常见陷阱

错误做法:

隐函数求导时，对含y的项求导后忘记乘以 $\frac{d y}{d x}$ 。

原因:

我们是对x而非y求导，因此链式法则要求额外的这个因子。

正确做法:

每次对y的函数求导时，都要添加 $\frac{d y}{d x}$ 作为因子。

错误做法:

参数函数求二阶导数时，直接对 $\frac{d y}{d x}$ 关于t求导。

原因:

$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ 是对x而非t的导数，因此需要应用链式法则。

正确做法:

使用恒等式 $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{1}{d x / d t} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})$ 。

错误做法:

参数求导公式中分子分母颠倒，写成 $\frac{d y}{d x} = \frac{d x / d t}{d y / d t}$ 。

原因:

这是记忆公式时常见的顺序混淆错误。

正确做法:

记住：dy/dx等于（dy/dt）除以（dx/dt）。

错误做法:

对数求导法中，隐式求导后忘记乘以原y。

原因:

展开求导后，我们得到 $\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = ...$ ，因此y因子是必须的。

正确做法:

最后始终要两边乘以y，再代回y的原表达式。

错误做法:

对 $y = x^{5}$ 这类可以用幂法则的简单多项式使用对数求导法。

原因:

这是不必要的，会浪费考试时间，增加计算错误的概率。

正确做法:

仅对复杂乘积/商或形如 $f (x)^{g (x)}$ 的函数使用对数求导法。

5. 速查表

求导方法	核心公式	适用场景
隐函数求导法	逐项求导: $\frac{d}{d x} [f (y)] = f^{'} (y) \frac{d y}{d x}$ , 然后整理	适用于无法写成 $y = f (x)$ 的关系式
参数方程求导法	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y / d t}{d x / d t}$ , $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = \frac{d / d t ( d y / d x )}{d x / d t}$	当 $x, y$ 均为参数 $t$ 的函数时
对数求导法	$ln y = ln f (x) ⟹ \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} ⟹ \frac{d y}{d x} = y \cdot \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )}$	适用于 $y = f (x)^{g (x)}$ 、复杂乘积/商

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · Paper 1
求隐函数曲线的梯度
2022 · Paper 2
对参数函数求导
2023 · Paper 1
复杂乘积的对数求导

深入阅读

Video隐函数求导例题解析核心概念额外练习

下一步

掌握这三种求导技巧对IB AA HL中所有后续微积分主题至关重要。接下来你将应用这些方法寻找隐函数曲线和参数曲线的切线、法线和驻点，解决考试中常见的相关速率问题。这些技巧也是后续单元中参数函数积分、计算弧长、表面积和旋转体体积的基础。IB考试中大多数题目会将这些技巧与其他求导主题结合考查，因此持续练习将帮助你快速识别何时使用每种方法。