# 隐函数、参数函数与对数求导法

> IB 数学分析与方法 HL · 第5单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-implicit-parametric-and-logarithmic-differentiation/

本单元介绍三种无法写成显式$y=f(x)$形式的函数的高级求导技巧。你将学习如何扩展链式法则，求解IB考试中常见的隐函数、参数函数和复杂代数函数的导数。

**先修:** [基础求导法则（乘积法则、商法则、链式法则）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-basic-differentiation-rules/); [指数函数与对数函数的求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-exponential-log-differentiation/)

## 学习目标

- 使用链式法则对隐函数求导
- 计算参数函数的一阶和二阶导数
- 将对数求导法应用于复杂代数函数
- 使用三种方法计算指定点处的梯度

## 隐函数求导

**隐函数求导法** — 对隐关系式两边关于$x$求导，对所有含$y$的项应用链式法则的过程。

*例:* 适用于难以整理为$y=f(x)$的关系式，例如$x^2 + y^3 = xy$。

根据链式法则，任意关于y的函数对x求导可得恒等式：

$$\frac{d}{dx}\left[f(y)\right] = f'(y) \cdot \frac{dy}{dx}$$

**例题:** 求$x^2 + y^2 = 25$的$\frac{dy}{dx}$，然后计算点$(3,4)$处的梯度。

1. 对等式两边各项关于$x$求导：
2. $$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$$
3. 整理方程分离出$\frac{dy}{dx}$：
4. $$2y \frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$
5. 代入点$(3,4)$得到梯度：
6. $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(3,4)} = -\frac{3}{4}$$

> **考试提示:** 永远不要忘记对含$y$的项应用链式法则因子。

*计算器:* forbidden

## 参数方程求导法

对于参数函数$x = x(t)$和$y = y(t)$，我们整理链式法则得到y对x的导数：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}, \quad \frac{dx}{dt} \neq 0$$

对于二阶导数，由于我们是对$x$而非$t$求导，因此需要再次应用链式法则：

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$

**例题:** 已知$x = 2t^3 + 1$，$y = 4t^2 - t$，求以t表示的$\frac{dy}{dx}$，然后计算t=1处的梯度。

1. 分别对x和y关于t求导：
2. $$\frac{dx}{dt} = 6t^2, \quad \frac{dy}{dt} = 8t - 1$$
3. 应用参数求导公式：
4. $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{8t - 1}{6t^2}$$
5. 代入t=1得到梯度：
6. $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=1} = \frac{8(1) - 1}{6(1)^2} = \frac{7}{6}$$

> **warning**
>
> 计算二阶导数时，千万不能仅对$\frac{dy}{dx}$关于t求导——你必须再除以$\frac{dx}{dt}$。

*计算器:* forbidden

## 对数求导法

对数求导法是求解两类难以用基础法则求导的函数的首选方法：1）形如$y = f(x)^{g(x)}$的函数（底数和指数均为变量），以及2）多个函数的复杂乘积、商或幂次。

该方法遵循四个核心步骤：1）对等式两边取自然对数，2）用对数运算法则展开，3）关于x隐式求导，4）乘以y分离出$\frac{dy}{dx}$。

**例题:** 对$y = \frac{x^2 \sqrt{x+1}}{(x+2)^3}$关于x求导。

1. 对两边取自然对数，然后用对数法则展开：
2. $$\ln y = 2\ln x + \frac{1}{2}\ln(x+1) - 3\ln(x+2)$$
3. 对两边关于x隐式求导：
4. $$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{x+2}$$
5. 乘以y并代入y的原表达式：
6. $$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 \sqrt{x+1}}{(x+2)^3} \left( \frac{2}{x} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{3}{x+2} \right)$$

> **tip**
>
> 对于这类问题，该方法比反复使用乘积/商法则快得多，因此遇到可变指数的情况请始终使用该方法。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 隐函数求导时，对含y的项求导后忘记乘以$\frac{dy}{dx}$。
  - 原因: 我们是对x而非y求导，因此链式法则要求额外的这个因子。
  - 正确做法: 每次对y的函数求导时，都要添加$\frac{dy}{dx}$作为因子。
- **错误做法:** 参数函数求二阶导数时，直接对$\frac{dy}{dx}$关于t求导。
  - 原因: $\frac{d^2y}{dx^2}$是对x而非t的导数，因此需要应用链式法则。
  - 正确做法: 使用恒等式$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{dx/dt} \cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)$。
- **错误做法:** 参数求导公式中分子分母颠倒，写成$\frac{dy}{dx} = \frac{dx/dt}{dy/dt}$。
  - 原因: 这是记忆公式时常见的顺序混淆错误。
  - 正确做法: 记住：dy/dx等于（dy/dt）除以（dx/dt）。
- **错误做法:** 对数求导法中，隐式求导后忘记乘以原y。
  - 原因: 展开求导后，我们得到$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = ...$，因此y因子是必须的。
  - 正确做法: 最后始终要两边乘以y，再代回y的原表达式。
- **错误做法:** 对$y = x^5$这类可以用幂法则的简单多项式使用对数求导法。
  - 原因: 这是不必要的，会浪费考试时间，增加计算错误的概率。
  - 正确做法: 仅对复杂乘积/商或形如$f(x)^{g(x)}$的函数使用对数求导法。

## 速查表

| 求导方法 | 核心公式 | 适用场景 |
| --- | --- | --- |
| 隐函数求导法 | 逐项求导: $\frac{d}{dx}[f(y)] = f'(y)\frac{dy}{dx}$, 然后整理 | 适用于无法写成$y=f(x)$的关系式 |
| 参数方程求导法 | $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d/dt(dy/dx)}{dx/dt}$ | 当$x,y$均为参数$t$的函数时 |
| 对数求导法 | $\ln y = \ln f(x) \implies \frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)} \implies \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{f'(x)}{f(x)}$ | 适用于$y=f(x)^{g(x)}$、复杂乘积/商 |

## 下一步

掌握这三种求导技巧对IB AA HL中所有后续微积分主题至关重要。接下来你将应用这些方法寻找隐函数曲线和参数曲线的切线、法线和驻点，解决考试中常见的相关速率问题。这些技巧也是后续单元中参数函数积分、计算弧长、表面积和旋转体体积的基础。IB考试中大多数题目会将这些技巧与其他求导主题结合考查，因此持续练习将帮助你快速识别何时使用每种方法。

- [高阶导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-higher-order-derivatives/)
- [微分的应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-applications-of-differentiation/)
- [不定积分与定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-indefinite-and-definite-integration/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-implicit-parametric-and-logarithmic-differentiation/