# 微积分基本定理

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-fundamental-theorem-of-calculus/

微积分基本定理（FTC）将微积分的两个核心运算——求导与积分联系起来。本文将介绍该定理的两个核心部分、它们的核心应用，以及常见的考试题型。

**先修:** [基本求导法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-basic-differentiation-rules/); [作为黎曼和的定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-definite-integral-riemann-sum/)

## 学习目标

- 表述微积分基本定理（FTC）的两个部分
- 应用微积分基本定理第一部分对变限积分求导
- 应用微积分基本定理第二部分准确计算定积分

## 微积分基本定理第一部分

**微积分基本定理第一部分** — $F$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上可导，且对所有$x \in (a,b)$都有$F'(x) = f(x)$。该结论证明了求导和积分是互逆运算。

*记法:* If $f$ is continuous on $[a,b]$, and $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ for $x \in [a,b]$

*例:* 对于$F(x) = \int_2^x t^2 dt$，根据微积分基本定理第一部分可直接得到$F'(x) = x^2$。

当上限是$x$的函数而非$x$本身时，我们需要应用链式法则求导。对于上限$u(x)$，导数公式为$\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$。

**例题:** 求$G(x) = \int_0^{x^2} \cos(t) dt$关于$x$的导数。

1. 识别出$G(x)$的上限是复合函数$u(x) = x^2$。根据链式法则：$G'(x) = \frac{dG}{du} \cdot \frac{du}{dx}$。
2. 根据微积分基本定理第一部分，$\frac{dG}{du} = \cos(u)$。
3. 计算上限的导数：$\frac{du}{dx} = 2x$。
4. 回代$u = x^2$得到最终结果：
5. $$G'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$

> **tip**
>
> 如果上下限都是变量，在常数$c$处拆分积分：$\int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt = \int_c^{u(x)} f(t) dt - \int_c^{v(x)} f(t) dt$，然后分别对每一项求导。

> **考试提示:** IB考试中大多数关于微积分基本定理第一部分的题目都使用复合变限，永远不要忘记对限求导的链式法则。

*计算器:* forbidden

## 微积分基本定理第二部分

**微积分基本定理第二部分** — $f$在$[a,b]$上的定积分等于$F(b) - F(a)$。这让我们可以计算定积分的精确值，而无需对黎曼和做近似。

*记法:* If $f$ is continuous on $[a,b]$ and $F$ is any antiderivative of $f$ ($F' = f$)

*例:* $\int_1^2 x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^2 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

不定积分中的积分常数总会在$F(b) - F(a)$中抵消，因此计算定积分时你永远不需要加入积分常数。

**例题:** 计算定积分$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (2 \sin x + 3x^2) dx$。

1. 求每一项的原函数：$2 \sin x$的原函数是$-2 \cos x$，$3x^2$的原函数是$x^3$。
2. 合并得到$F(x) = -2 \cos x + x^3$（忽略积分常数）。
3. 在上限$\frac{\pi}{2}$处计算：
4. $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 = 0 + \frac{\pi^3}{8} = \frac{\pi^3}{8}$$
5. 在下限$0$处计算：
6. $$F(0) = -2 \cos(0) + 0^3 = -2(1) = -2$$
7. 用上限值减去下限值得到最终结果：
8. $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} (2 \sin x + 3x^2) dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \frac{\pi^3}{8} - (-2) = \frac{\pi^3}{8} + 2 \approx 5.87$$

> **考试提示:** 即使你用计算器计算最终值，也要在解题过程中明确写出$F(b) - F(a)$，这样才能拿到全部方法分。

*计算器:* allowed

## 核心证明与联系

微积分基本定理是微积分的统一性结论，它正式确立了求导（求变化率）和积分（求净面积）之间的互逆关系。这个联系是微积分所有应用的基础，从运动学到优化问题都离不开它。

**推导:** 证明微积分基本定理第一部分：$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$

*起点:* 从导数定义出发：$F'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F(x+h) - F(x)}{h}$

1. 代入$F(x) = \int_a^x f(t) dt$：$$\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h} \left(\int_a^{x+h} f(t) dt - \int_a^x f(t) dt\right) = \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) dt$$
2. 根据积分中值定理，存在一个介于$x$和$x+h$之间的$c$，使得$\int_x^{x+h} f(t) dt = f(c) h$。
3. 回代得到$\frac{1}{h} \cdot f(c) h = f(c)$。
4. 当$h \to 0$时，$c \to x$，又因为$f$连续，因此$\lim_{h \to 0} f(c) = f(x)$。

*结论:* 因此，$F'(x) = f(x)$，证明完成。

**概念自测**

测试你的理解

1. 若$F(x) = \int_5^x \frac{1}{1 + t^3} dt$，求$F'(2)$的值？

   - A) $\frac{1}{9}$
   - B) $\frac{1}{1+8}$
   - C) $\frac{1}{2}$
   - D) $0$

   *解析:* 根据微积分基本定理第一部分，$F'(x) = \frac{1}{1+x^3}$，因此$F'(2) = \frac{1}{1+8} = \frac{1}{9}$。

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 对变限积分求导时忘记链式法则
  - 原因: 微积分基本定理第一部分是针对上限为$x$的情况，而非上限为$x$的函数，因此复合变限需要使用链式法则
  - 正确做法: 始终使用这个公式：$\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$
- **错误做法:** 计算定积分时算成$F(a) - F(b)$而非正确的$F(b) - F(a)$
  - 原因: 混淆了上下限的顺序，导致正面积得到负结果
  - 正确做法: 始终用上限处的原函数值减去下限处的原函数值
- **错误做法:** 计算完成后保留积分哑变量
  - 原因: 混淆了限的变量和积分内部的积分变量
  - 正确做法: 代入限的值后哑变量会被消去，因此最终结果永远不会包含积分变量
- **错误做法:** 在包含间断点的区间上对不连续函数应用微积分基本定理
  - 原因: 该定理要求$f$在整个闭区间$[a,b]$上连续
  - 正确做法: 在间断点处拆分积分，分别计算每一部分，并检查收敛性

## 速查表

| 结果类型 | 公式 | 应用场景 |
| --- | --- | --- |
| 微积分基本定理第一部分 | $\frac{d}{dx} \int_a^{u(x)} f(t) dt = f(u(x))u'(x)$ | 对变限积分求导 |
| 微积分基本定理第二部分 | $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a), F'=f$ | 计算精确定积分 |
| 双变限 | $\frac{d}{dx} \int_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt = f(u)u' - f(v)v'$ | 对双变限积分求导 |
| 积分常数 | $C$ cancels in $F(b)-F(a)$ | 计算定积分 |

## 下一步

现在你已经掌握了微积分基本定理，你就拥有了积分微积分所有进阶内容的核心工具。微积分基本定理让你无需再做近似，可以解决从运动学到旋转体体积的各类应用问题，也能帮助你攻克更复杂的积分技巧。它所确立的求导与积分之间的互逆关系也是解微分方程的基础，微分方程是IB AA HL中占分很高的考点，在两张试卷中都会出现。这个主题为你在考试中以及未来大学学习中所有进一步的微积分学习打开了大门。

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