一阶微分方程（仅HL）

IB 数学：分析与方法 HL· Unit 5: Calculus, Topic 12· 15 分钟阅读

1. 基础与可分离变量微分方程★★☆☆☆HL 专属⏱ 5 min

📘 定义

一阶微分方程

\frac{dy}{dx} = f(x,y)

一个关联自变量 $x$ 、因变量 $y$ 和 $y$ 的一阶导数的方程。通解包含一个任意常数；初始条件可以确定常数，得到特解。

例:

\frac{dy}{dx} = 2xy

可分离变量常微分方程可以整理为将所有 $y$ 项归到一侧，所有 $x$ 项归到另一侧，从而可以对两侧直接积分。

📐 例题

求 $\frac{d y}{d x} = \frac{x ^{2}}{y ^{2}}$ 的通解

1
两边乘以 $y^{2} d x$ 分离变量:
$y^2 dy = x^2 dx$
2
对两侧积分，添加积分常数:
$\int y^2 dy = \int x^2 dx$
3
计算积分得:
$\frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + C$
4
整理得到通解:
$y = \sqrt[3]{x^3 + C}$

2. 齐次一阶微分方程★★★☆☆HL 专属⏱ 6 min

📘 定义

齐次一阶常微分方程

形式为 $\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})$ 的一阶常微分方程，使用换元 $v = \frac{y}{x}$ 可将原方程转化为可分离变量方程求解。

因为 $y = v x$ ，对 $x$ 用乘积法则求导可得 $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$ 。将其代入原方程，即可得到关于 $v$ 和 $x$ 的可分离变量方程。

📐 例题

求解齐次常微分方程 $x \frac{d y}{d x} = y + x$ ，对于 $x > 0$

1
整理方程，确认其为齐次方程:
$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1 = f\left(\frac{y}{x}\right)$
2
代入 $v = \frac{y}{x}$ 和 $\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}$ :
$v + x\frac{dv}{dx} = v + 1$
3
化简并分离变量:
$dv = \frac{dx}{x}$
4
对两侧积分:
$v = \ln x + C$
5
回代 $v = \frac{y}{x}$ 得到通解:
$y = x(\ln x + C)$

3. 线性一阶常微分方程与积分因子★★★★☆HL 专属⏱ 7 min

📘 定义

线性一阶常微分方程

\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

关于 $y$ 的一阶线性常微分方程，其中 $P (x)$ 和 $Q (x)$ 仅为 $x$ 的函数，使用积分因子法求解。

积分因子定义为 $I (x) = e^{\int P (x) d x}$ 。将方程两侧乘以 $I (x)$ 后，左侧会变为乘积 $I (x) y$ 的导数，可直接积分:

\frac{d}{dx}\left(I(x)y\right) = I(x)Q(x)

📐 例题

求 $\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2}$ 的通解， $x > 0$

1
确认方程已化为标准线性形式，其中 $P (x) = \frac{1}{x}$ 且 $Q (x) = x^{2}$ 。
2
计算积分因子:
$I(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$
3
方程两侧乘以 $I (x) = x$ :
$x\frac{dy}{dx} + y = x^3$
4
识别左侧为 $\frac{d}{d x} (x y)$ :
$\frac{d}{dx}(xy) = x^3$
5
积分并整理得到 $y$ :
$xy = \frac{x^4}{4} + C \implies y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$

4. 应用场景中的初值问题★★★☆☆⏱ 4 min

在应用问题中，你几乎总会得到初始条件 $y (x_{0}) = y_{0}$ ，它可以让你解出任意常数 $C$ ，得到唯一的特解。常见应用包括种群增长、放射性衰变、牛顿冷却定律和带阻力的运动。

📐 例题

种群增长满足 $\frac{d P}{d t} = 0.02 P$ ，初始种群为 $P (0) = 1000$ 。求 $t = 10$ 时的 $P$ 。

1
分离变量:
$\frac{dP}{P} = 0.02 dt$
2
对两侧积分:
$\ln P = 0.02 t + C$
3
取指数化简，记 $e^{C} = A$ :
$P = Ae^{0.02 t}$
4
代入初始条件 $P (0) = 1000$ :
$1000 = Ae^0 \implies A = 1000$
5
计算 $P (10)$ :
$P(10) = 1000 e^{0.2} \approx 1221$

5. 常见陷阱

错误做法:

两侧积分后忘记添加积分常数

原因:

这会得到错误的通解，进而导致错误的特解，丢失分数

正确做法:

积分后立即添加积分常数

错误做法:

未将常微分方程整理为 $d y / d x$ 系数为1的标准形式就计算积分因子

原因:

会得到错误的 $P (x)$ ，进而得到错误的积分因子和解

正确做法:

一定要先除以 $d y / d x$ 的系数

错误做法:

齐次常微分方程换元错误，将 $d y / d x = v + x d v / d x$ 写为 $d y / d x = d v / d x$

原因:

对 $y = v x$ 求导时忘记乘积法则，会得到错误的可分离方程

正确做法:

换元时一定要使用乘积法则

错误做法:

对 $1/ x$ 积分时遗漏绝对值符号

原因:

这会导致 $x$ 为负时解不成立，或得到错误的积分因子

正确做法:

化简前保留绝对值，或确认定义域

错误做法:

对非线性常微分方程使用积分因子法

原因:

该方法仅适用于关于 $y$ 的线性常微分方程，无法得到正确解

正确做法:

先对常微分方程分类：先尝试分离变量，检验是否为齐次，仅对线性常微分方程使用积分因子法

6. 速查表

常微分方程类型	标准形式	解法
可分离变量	$\frac{d y}{d x} = f (x) g (y)$	$\int \frac{1}{g ( y )} d y = \int f (x) d x$
齐次	$\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})$	换元 $v = \frac{y}{x}$ ，求解可分离方程
线性	$\frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$	积分因子 $I (x) = e^{\int P (x) d x}$ ，求解 $\frac{d}{d x} (I (x) y) = I (x) Q (x)$
初值问题	$\frac{d y}{d x} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}$	先求通解，代入初始条件求 $C$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

一阶微分方程是微积分和动力系统建模更高级主题的基础，在各个STEM领域都有广泛应用。掌握常微分方程的分类和对应的解法对IB AA HL考试至关重要，考试中常出现需要你自行选择正确方法的混合题型。接下来，你将延伸学习二阶常微分方程，它用于建模振荡、运动和电路。你还会学习斜率场和平衡解对常微分方程的定性分析，这能帮助你检验结果并在实际场景中解释解。练习需要先分类的混合题型是备考的最佳方式。