# 一阶微分方程（仅HL）

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL 微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-first-order-differential-equations/

一阶微分方程将未知函数与其一阶导数关联起来。本模块讲解可分离变量、齐次和线性一阶常微分方程的解法，包括如何从应用问题的初始条件中求得特解。

**先修:** [积分技巧](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-integration-techniques/); [隐函数求导](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-differentiation-rules/); [部分分式分解](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-partial-fractions/)

## 学习目标

- 对一阶微分方程的类型进行分类
- 求解带初始条件的可分离一阶常微分方程
- 使用换元法求解齐次一阶常微分方程
- 使用积分因子法求解线性一阶常微分方程
- 为应用问题中的初值问题求特解

## 基础与可分离变量微分方程

**一阶微分方程** — 一个关联自变量$x$、因变量$y$和$y$的一阶导数的方程。通解包含一个任意常数；初始条件可以确定常数，得到特解。

*记法:* \frac{dy}{dx} = f(x,y)

*例:* \frac{dy}{dx} = 2xy

可分离变量常微分方程可以整理为将所有$y$项归到一侧，所有$x$项归到另一侧，从而可以对两侧直接积分。

**例题:** 求 $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2}$ 的通解

1. 两边乘以 $y^2 dx$ 分离变量:

   $$y^2 dy = x^2 dx$$
2. 对两侧积分，添加积分常数:

   $$\int y^2 dy = \int x^2 dx$$
3. 计算积分得:

   $$\frac{y^3}{3} = \frac{x^3}{3} + C$$
4. 整理得到通解:

   $$y = \sqrt[3]{x^3 + C}$$

> **tip**
>
> 通解一定要包含积分常数，遗漏常数会被扣分，这是很常见的错误。

## 齐次一阶微分方程

**齐次一阶常微分方程** — 形式为 $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的一阶常微分方程，使用换元 $v = \frac{y}{x}$ 可将原方程转化为可分离变量方程求解。

因为 $y = vx$，对 $x$ 用乘积法则求导可得 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$。将其代入原方程，即可得到关于 $v$ 和 $x$ 的可分离变量方程。

**例题:** 求解齐次常微分方程 $x\frac{dy}{dx} = y + x$，对于 $x>0$

1. 整理方程，确认其为齐次方程:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1 = f\left(\frac{y}{x}\right)$$
2. 代入 $v = \frac{y}{x}$ 和 $\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}$:

   $$v + x\frac{dv}{dx} = v + 1$$
3. 化简并分离变量:

   $$dv = \frac{dx}{x}$$
4. 对两侧积分:

   $$v = \ln x + C$$
5. 回代 $v = \frac{y}{x}$ 得到通解:

   $$y = x(\ln x + C)$$

## 线性一阶常微分方程与积分因子

**线性一阶常微分方程** — 关于 $y$ 的一阶线性常微分方程，其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 仅为 $x$ 的函数，使用积分因子法求解。

*记法:* \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)

积分因子定义为 $I(x) = e^{\int P(x) dx}$。将方程两侧乘以 $I(x)$ 后，左侧会变为乘积 $I(x)y$ 的导数，可直接积分:

$$\frac{d}{dx}\left(I(x)y\right) = I(x)Q(x)$$

**例题:** 求 $\frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = x^2$ 的通解，$x>0$

1. 确认方程已化为标准线性形式，其中 $P(x) = \frac{1}{x}$ 且 $Q(x) = x^2$。
2. 计算积分因子:

   $$I(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$$
3. 方程两侧乘以 $I(x) = x$:

   $$x\frac{dy}{dx} + y = x^3$$
4. 识别左侧为 $\frac{d}{dx}(xy)$:

   $$\frac{d}{dx}(xy) = x^3$$
5. 积分并整理得到 $y$:

   $$xy = \frac{x^4}{4} + C \implies y = \frac{x^3}{4} + \frac{C}{x}$$

> **exam_tip**
>
> 计算积分因子前一定要先将常微分方程整理为标准形式，不这么做会得到错误的积分因子。

## 应用场景中的初值问题

在应用问题中，你几乎总会得到初始条件 $y(x_0) = y_0$，它可以让你解出任意常数 $C$，得到唯一的特解。常见应用包括种群增长、放射性衰变、牛顿冷却定律和带阻力的运动。

**例题:** 种群增长满足 $\frac{dP}{dt} = 0.02P$，初始种群为 $P(0) = 1000$。求 $t=10$ 时的 $P$。

1. 分离变量:

   $$\frac{dP}{P} = 0.02 dt$$
2. 对两侧积分:

   $$\ln P = 0.02 t + C$$
3. 取指数化简，记 $e^C = A$:

   $$P = Ae^{0.02 t}$$
4. 代入初始条件 $P(0) = 1000$:

   $$1000 = Ae^0 \implies A = 1000$$
5. 计算 $P(10)$:

   $$P(10) = 1000 e^{0.2} \approx 1221$$

## 常见错误

- **错误做法:** 两侧积分后忘记添加积分常数
  - 原因: 这会得到错误的通解，进而导致错误的特解，丢失分数
  - 正确做法: 积分后立即添加积分常数
- **错误做法:** 未将常微分方程整理为$dy/dx$系数为1的标准形式就计算积分因子
  - 原因: 会得到错误的$P(x)$，进而得到错误的积分因子和解
  - 正确做法: 一定要先除以$dy/dx$的系数
- **错误做法:** 齐次常微分方程换元错误，将 $dy/dx = v + x dv/dx$ 写为 $dy/dx = dv/dx$
  - 原因: 对 $y=vx$ 求导时忘记乘积法则，会得到错误的可分离方程
  - 正确做法: 换元时一定要使用乘积法则
- **错误做法:** 对 $1/x$ 积分时遗漏绝对值符号
  - 原因: 这会导致 $x$ 为负时解不成立，或得到错误的积分因子
  - 正确做法: 化简前保留绝对值，或确认定义域
- **错误做法:** 对非线性常微分方程使用积分因子法
  - 原因: 该方法仅适用于关于 $y$ 的线性常微分方程，无法得到正确解
  - 正确做法: 先对常微分方程分类：先尝试分离变量，检验是否为齐次，仅对线性常微分方程使用积分因子法

## 速查表

| 常微分方程类型 | 标准形式 | 解法 |
| --- | --- | --- |
| 可分离变量 | $\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$ | $\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx$ |
| 齐次 | $\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$ | 换元 $v = \frac{y}{x}$，求解可分离方程 |
| 线性 | $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ | 积分因子 $I(x) = e^{\int P(x) dx}$，求解 $\frac{d}{dx}(I(x)y) = I(x)Q(x)$ |
| 初值问题 | $\frac{dy}{dx} = f(x,y), y(x_0) = y_0$ | 先求通解，代入初始条件求 $C$ |

## 下一步

一阶微分方程是微积分和动力系统建模更高级主题的基础，在各个STEM领域都有广泛应用。在IB AA HL中（AHL 5.18），一阶微分方程通过欧拉方法、分离变量法、齐次代换$y = vx$以及积分因子法求解，考试中常出现需要你自行选择正确方法的混合题型。请注意：二阶微分方程以及斜率场、平衡解等定性分析都不属于AA HL考纲范围。练习需要先分类的混合题型是备考的最佳方式。

- [麦克劳林级数与泰勒级数（仅限HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-maclaurin-and-taylor-series/)
- [微积分基本定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-fundamental-theorem-of-calculus/)

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