# 求导法则

> IB 数学 AA HL · IB 数学 AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-differentiation-rules/

本模块涵盖IB 数学 AA HL要求的所有核心求导法则，从基础的常数法则和幂法则，到适用于复合函数的乘积法则、商法则和链式法则。你将学习应用策略，避免常见的考试错误。

**先修:** [导数的极限定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-introduction-to-derivatives/)

## 学习目标

- 牢记并应用常用函数类型的所有核心求导法则
- 对函数组合正确应用乘积法则、商法则和链式法则
- 针对不同求导问题判断应使用的法则
- 避免考试题目中常见的符号和系数错误

## 基础求导法则

**基础求导法则** — 一组可直接计算导数的快捷法则，无需使用极限定义，能大幅加快计算速度

*记法:* \frac{d}{dx}[f(x)]

*例:* 根据幂法则，$x^n$的导数为$nx^{n-1}$

所有基础法则都源自导数的极限定义，但在考试有限的时间内，熟记它们是解决复杂问题的关键。常用函数的核心基础法则如下：

- 常数法则：对任意常数$c$，有$\frac{d}{dx}[c] = 0$
- 幂法则：对任意实数$n$，有$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$
- 指数法则：$\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$，$\frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a$
- 自然对数法则：$\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$
- 三角函数法则：$\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$，$\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$

**例题:** 求$f(x) = 3x^4 - 2\sqrt{x} + \frac{5}{x^2} + 7$的导数

1. 将所有项改写为幂次形式，以便应用幂法则：
2. $$3x^4 - 2x^{1/2} + 5x^{-2} + 7x^0$$
3. 使用常数倍法则和加法法则，逐项应用幂法则：
4. $$f'(x) = 3(4x^3) - 2\left(\frac{1}{2}x^{-1/2}\right) + 5(-2x^{-3}) + 0$$
5. 化简最终结果：
6. $$f'(x) = 12x^3 - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{10}{x^3}$$

> **考试提示:** 求导前始终将根号和倒数改写为幂次形式，避免系数错误。

## 乘积法则与商法则

**乘积法则与商法则** — 分别用于对两个不同可导函数的乘积和商求导的法则。

*记法:* (fg)' = f'g + fg', \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

乘积法则适用于两个函数相乘的情况，商法则适用于一个函数除以另一个函数的情况。有一个常用口诀可以帮助记住商法则的项顺序：

> **mnemonic**
>
> 下导上减去上导下，分母是下的平方

**例题:** 求$g(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$的导数

1. 确定分子$f(x) = 2x+1$，分母$g(x) = x-3$，然后求它们的导数：$f'(x) = 2$，$g'(x) = 1$
2. 应用商法则：
3. $$g'(x) = \frac{(2)(x - 3) - (2x + 1)(1)}{(x - 3)^2}$$
4. 化简分子：$2x - 6 - 2x - 1 = -7$
5. 化简后的最终结果：
6. $$g'(x) = \frac{-7}{(x - 3)^2}$$

> **考试提示:** 交换商法则分子中项的顺序会改变答案的符号，一定要反复检查顺序。

## 复合函数的链式法则

**链式法则** — 用于对复合函数（即一个函数作用于另一个函数的输出）求导的法则。

*记法:* \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}, (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

链式法则是IB考试中最常用的求导法则。应用策略很简单：先对外层函数求导，内层函数保持不变，然后乘以内层函数的导数。

**例题:** 对$y = (3x^2 - 5x + 2)^4$求导

1. 定义内层函数$u = 3x^2 - 5x + 2$，外层函数$y = u^4$
2. 分别对每个函数求导：
3. $$\frac{dy}{du} = 4u^3, \quad \frac{du}{dx} = 6x - 5$$
4. 应用链式法则：
5. $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3(6x - 5)$$
6. 回代$u = 3x^2 - 5x + 2$得到最终结果：
7. $$\frac{dy}{dx} = (24x - 20)(3x^2 - 5x + 2)^3$$

**概念自测**

测试你对何时使用链式法则的理解：

1. 求$y = x^2 \sin x$的导数是否需要应用链式法则？

   - 需要，因为它是两个函数的乘积
   - 不需要，链式法则仅适用于复合函数，这里需要使用乘积法则
   - 需要，因为$x^2$是幂函数

   *答案:* 不需要，链式法则仅适用于复合函数，这里需要使用乘积法则

   *解析:* 正确！$y = x^2 \sin x$是两个函数的乘积，不是复合函数，因此只需要使用乘积法则。

## 求导法则的综合应用

大多数IB考试题目需要结合多个求导法则，几乎总是链式法则搭配乘积法则或商法则。可靠的策略是从最外层运算开始，逐层向内推导，每一步应用所需的法则。

**例题:** 求$f(x) = e^{-x} \cos(2x)$的导数

1. 最外层运算是乘积，因此从乘积法则开始：
2. $$f'(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x}] \cos(2x) + e^{-x} \frac{d}{dx}[\cos(2x)]$$
3. 使用链式法则对每一项求导：
4. $$\frac{d}{dx}[e^{-x}] = e^{-x}(-1) = -e^{-x}, \quad \frac{d}{dx}[\cos(2x)] = -\sin(2x)(2) = -2\sin(2x)$$
5. 回代入乘积法则的表达式：
6. $$f'(x) = (-e^{-x})\cos(2x) + e^{-x}(-2\sin(2x))$$
7. 提取公因式化简：
8. $$f'(x) = -e^{-x}\left(\cos(2x) + 2\sin(2x)\right)$$

> **考试提示:** 标记每个函数层并写出每一步，避免遗漏链式法则中的导数项——这是考试中非常常见的错误。

## 常见错误

- **错误做法:** 应用链式法则时忘记乘以内层函数的导数
  - 原因: 仅对外层函数求导，遗漏了一个必要因子，会彻底改变结果
  - 正确做法: 对外层函数求导后，始终记得乘以内层函数的导数
- **错误做法:** 交换商法则分子中项的顺序
  - 原因: 这会改变整个导数的符号，得到错误答案，通常会被扣分
  - 正确做法: 使用口诀'下导上减去上导下'记住正确的项顺序
- **错误做法:** 对乘积求导时直接乘导数：$(fg)' = f'g'$
  - 原因: 混淆了乘积法则与加法法则，加法法则中'和的导数等于导数的和'
  - 正确做法: 始终使用完整的乘积法则：$(fg)' = f'g + fg'$
- **错误做法:** 错误写出$\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{\ln x}$
  - 原因: 将对数函数的导数与$x^n$的幂法则混淆
  - 正确做法: 牢记$\ln x$对$x$的导数始终是$\frac{1}{x}$
- **错误做法:** 对$a^x$求导时忘记$\ln a$，错误写出$\frac{d}{dx}[a^x] = a^x$
  - 原因: 混淆了一般指数函数与$e^x$，$e^x$的导数就是它本身
  - 正确做法: 对底数$a \neq e$的指数函数求导时，始终乘以$\ln a$

## 速查表

| 法则名称 | 公式 |
| --- | --- |
| 常数法则 | $\frac{d}{dx}[c] = 0$ |
| 幂法则 | $\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$ |
| 乘积法则 | $(fg)' = f'g + fg'$ |
| 商法则 | $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ |
| 链式法则 | $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$ |
| 指数函数 | $\frac{d}{dx}[e^x] = e^x, \frac{d}{dx}[a^x] = a^x \ln a$ |
| 对数函数 | $\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$ |
| 正弦函数 | $\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$ |
| 余弦函数 | $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$ |

## 下一步

求导法则是IB 数学 AA HL中几乎所有后续微积分主题的基础。掌握这些核心法则后，你可以继续学习更高级的求导技巧，包括隐函数求导、参数方程求导和高阶导数求解。在后续单元中，当你寻找临界点、绘制曲线、求解优化问题，以及反向应用法则进行换元积分时，都会不断用到这些法则。持续练习综合应用法则是考试中提高速度和准确率的关键。

- [高阶导数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-higher-order-derivatives/)
- [求导的应用](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-applications-of-differentiation/)
- [隐函数、参数函数与对数求导法](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-implicit-parametric-and-logarithmic-differentiation/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-differentiation-rules/