导数的定义

IB 数学：分析与方法 HL· Topic 5: Calculus, Subtopic 5.3· 15 分钟阅读

1. 第一原理的正式极限定义★★☆☆☆HL 专属⏱ 5 min

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📘 定义

第一原理求导

两种等价形式：

$f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
$f^{'} (a) = lim_{x \to a} \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

函数 $f$ 在点 $x$ 处的导数是区间长度趋近于零时，区间上平均变化率的极限。只有当该极限为有限值时，导数才存在。

例:

对于 $f (x) = x^{2}$ ，它在 $x = 3$ 处的导数为 $lim_{h \to 0} \frac{( 3 + h ) ^{2} - 9}{h} = 6$

📐 例题

用第一原理求 $f (x) = 2 x^{2} + 3 x - 1$ 的 $f^{'} (x)$ 。

1
从正式极限定义出发：
2
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
3
展开并化简 $f (x + h)$ ：
4
$f(x+h) = 2(x+h)^2 + 3(x+h) - 1 = 2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 1$
5
减去 $f (x)$ 并对分子因式分解：
6
$f(x+h) - f(x) = (2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 1) - (2x^2 + 3x - 1) = h(4x + 2h + 3)$
7
约去 $h$ （该操作有效，因为取极限时 $h \neq = 0$ ），然后计算极限：
8
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (4x + 2h + 3) = 4x + 3$

Exam tip:

如果考题明确要求'用第一原理求导'，你必须使用极限定义。使用常规求导法则将得零分。

2. 导数的几何意义★★☆☆☆HL 专属⏱ 6 min

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导数 $f^{'} (a)$ 恰好等于曲线 $y = f (x)$ 在点 $(a, f (a))$ 处切线的斜率。表达式 $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ 是连接 $(a, f (a))$ 和 $(a + h, f (a + h))$ 的割线的斜率。当 $h \to 0$ 时，割线趋近于切线，因此割线的斜率趋近于导数。

📐 例题

用导数定义求 $f (x) = x^{3}$ 在 $x = 2$ 处的切线方程。

1
计算 $x = 2$ 处的导数（斜率）：
2
$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$
3
展开并化简表达式：
4
$\frac{(2+h)^3 - 8}{h} = \frac{8 + 12h + 6h^2 + h^3 - 8}{h} = 12 + 6h + h^2$
5
计算极限得到斜率：
6
$f'(2) = \lim_{h \to 0} (12 + 6h + h^2) = 12$
7
使用点斜式求切线方程（切线过点 $(2, 8)$ ）：
8
$y - 8 = 12(x - 2) \implies y = 12x - 16$

3. 可微性与连续性★★★☆☆HL 专属⏱ 7 min

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📘 定义

一点处的可微性

左导数: $f_{-}^{'} (a) = lim_{h \to 0^{-}} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
右导数: $f_{+}^{'} (a) = lim_{h \to 0^{+}} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

当且仅当 $f_{-}^{'} (a) = f_{+}^{'} (a)$ 且两者均为有限值时，函数在 $x = a$ 处可微。

一个核心定理：若函数在一点可微，则它在该点一定连续。反之则不成立：函数可以连续但不可微。经典例子是 $f (x) = ∣ x ∣$ 在 $x = 0$ 处，该函数连续但左右导数不相等。

📐 例题

证明分段函数 $f (x) = {x^{2} 2 x - 1 x \leq 1 x > 1$ 在 $x = 1$ 处可微。

1
首先确认 $x = 1$ 处连续（可微的必要条件）：
2
左极限: $lim_{x \to 1^{-}} x^{2} = 1$ ，右极限: $lim_{x \to 1^{+}} (2 x - 1) = 1$ ， $f (1) = 1$ ，因此函数在该点连续。
3
计算左导数：
4
$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^-} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{2h + h^2}{h} = 2$
5
计算右导数：
6
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{(2(1+h) - 1) - 1}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{2h}{h} = 2$
7
由于 $f_{-}^{'} (1) = f_{+}^{'} (1) = 2$ ，极限存在，因此 $f$ 在 $x = 1$ 处可微。

✓ 快速检测

测试你的理解：

若函数在 $x = a$ 处连续，则它在 $x = a$ 处一定可微。判断对错。
- 对
- 错
显示答案
1 —
连续函数可能会在尖角、尖点或垂直切线处不存在导数。经典例子就是 $f (x) = ∣ x ∣$ 在 $x = 0$ 处。

4. 常见陷阱

错误做法:

约去 $h$ 前就在 $h = 0$ 处计算极限，导致除以零错误。

原因:

当取 $h \to 0$ 的极限时， $h$ 趋近于0但不等于0，因此代入前约去 $h$ 是合法的。

正确做法:

计算极限前先完全化简表达式，将 $h$ 从分母中消去。

错误做法:

仅因为分段函数在分段点连续就判定它可微。

原因:

连续性是可微的必要条件，而非充分条件。左右导数也必须相等。

正确做法:

必须计算分段点处的左导数和右导数，确认两者相等。

错误做法:

约去 $h$ 前没有完全展开 $f (x + h)$ ，导致极限计算错误。

原因:

因式分解前错误约去 $h$ 会得到错误的极限表达式。

正确做法:

先完全展开 $f (x + h)$ ，减去 $f (x)$ ，合并同类项，然后提取公因子 $h$ 再约去。

错误做法:

被要求用第一原理求导时使用常规求导法则。

原因:

考题明确考察你对极限定义的理解，因此其他方法不得分。

正确做法:

当被要求用第一原理求导时，必须从极限定义出发并写出所有步骤。

5. 速查表

概念	公式
$x$ 处的导数	f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
$x = a$ 处的导数（另一种形式）	f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}
左导数	f'-(a) = \lim{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
右导数	f'+(a) = \lim{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
点 $(a, f (a))$ 处的切线	y - f(a) = f'(a)(x - a)
核心关系	可微 $⟹$ 连续，反之不成立

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · Paper 1
用第一原理对二次函数求导
2023 · Paper 1
判断分段函数的可微性

下一步

现在你已经理解了第一原理下的导数定义，接下来可以学习多项式、三角函数、指数函数和对数函数的常规求导法则。这些法则比第一原理求导快得多，几乎在所有后续微积分主题中都会用到。这个基础定义是隐函数求导、相关变化率、积分，以及微积分在优化、运动学和微分方程中所有应用的基础。