积分的应用：面积与旋转体体积

IB 数学：分析与方法 HL· Syllabus 5.11: Areas, volumes of revolution· 25 分钟阅读

1. 曲线与x轴之间的面积★★☆☆☆⏱ 7 min

📘 定义

带符号面积 vs 总面积

定积分计算的是带符号面积：x轴上方的面积为正，x轴下方为负。几何总面积是函数不变号区间上各段带符号面积的绝对值之和。

当函数在积分区间内穿过x轴时，你必须将积分拆分为轴上方和轴下方两个单独部分。不这样做会导致正负面积相互抵消，得到错误结果。

📐 例题

求 $f (x) = x$ 与x轴在 $x = - 2$ 和 $x = 3$ 之间围成的几何总面积。

1
找到 $f (x)$ 穿过x轴的位置： $x = 0$ ，因此拆分为区间 $[- 2, 0]$ 和 $[0, 3]$ 。计算第一个区间的带符号面积：
2
$\int_{-2}^0 x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^0 = 0 - 2 = -2$
3
取负带符号面积的绝对值，加上第二个区间的正面积：
4
$\text{Total Area} = \left| \int_{-2}^0 x dx \right| + \int_0^3 x dx = |-2| + \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^3 = 2 + 4.5 = 6.5$
5
最终总面积为 $\frac{13}{2}$ 平方单位。

Exam tip:

积分求面积前，一定要先检查区间内是否存在 $f (x) = 0$ 的根。

2. 两条曲线之间的面积★★★☆☆⏱ 8 min

📘 定义

两条曲线之间的面积

对于区间 $[a, b]$ 上的连续函数满足 $f (x) \geq g (x)$ ，两曲线之间的总面积为 $\int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x$ 。上下限 $a, b$ 几乎总是两条曲线交点的x坐标。

如果两曲线在区间内相交，需要在交点处拆分积分，和曲线穿过x轴的情况一样。始终用上方函数减去下方函数，保证被积函数为正。

📐 例题

求 $f (x) = x^{2}$ 和 $g (x) = x + 2$ 围成的面积。

1
令两函数相等，求解交点：
2
$x^2 = x+2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$
3
积分限为 $a = - 1$ ， $b = 2$ 。验证后确认该区间上 $g (x) > f (x)$ ，因此列出积分：
4
$\text{Area} = \int_{-1}^2 \left((x+2) - x^2\right) dx = \left[\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^2$
5
计算结果： $x = 2$ 处的原函数值为 $\frac{10}{3}$ ， $x = - 1$ 处为 $- \frac{7}{6}$ ：
6
$\frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$
7
总面积是 $4.5$ 平方单位。

Exam tip:

如果题目没有给出积分限，一定要先求解交点，才能拿到全部方法分。

3. 绕x轴旋转的旋转体体积★★★☆☆⏱ 9 min

将由 $y = f (x)$ 、x轴、 $x = a$ 和 $x = b$ 围成的区域绕x轴旋转360°，得到一个立体。垂直于x轴的横截面是半径为 $∣ f (x) ∣$ 的圆，由此得到圆盘法公式：

V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx

对于两曲线之间的区域绕x轴旋转的情况，空心立体使用垫圈法，横截面积为外圆盘面积减去内圆盘面积：

V = \pi \int_a^b \left(R^2 - r^2\right) dx = \pi \int_a^b \left([f_{\text{outer}}(x)]^2 - [f_{\text{inner}}(x)]^2\right) dx

📐 例题

求由 $y = x + 1$ 、x轴、 $x = 0$ 和 $x = 2$ 围成的区域绕x轴旋转360°得到的立体体积。

1
确认在区间 $[0, 2]$ 上 $y = x + 1 \geq 0$ ，因此半径为 $f (x) = x + 1$ 。应用圆盘公式：
2
$V = \pi \int_0^2 (x+1)^2 dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 2x + 1) dx$
3
积分并计算结果：
4
$\pi \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x \right]_0^2 = \pi \left( \frac{8}{3} + 4 + 2 \right) = \frac{26}{3}\pi \approx 27.23$
5
体积是 $\frac{26}{3} π$ 立方单位。

4. 绕y轴旋转的旋转体体积★★★★☆⏱ 8 min

对于绕y轴旋转，IB要求对y积分。首先将函数 $y = f (x)$ 改写为 $x = x (y)$ ，然后找到y的积分限。公式和绕x轴旋转类似：

V = \pi \int_c^d [x(y)]^2 dy

IB AA HL不要求壳层法，因此考试只会考察这种对y积分的标准方法。

📐 例题

求由 $y = x^{2}$ 、 $y = 0$ 和 $y = 4$ 围成的区域绕y轴旋转360°得到的体积。

1
将 $y = x^{2}$ 改写为 $x = y$ （ $x \geq 0$ 取正根）。y的积分限为 $c = 0$ ， $d = 4$ 。应用公式：
2
$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 dy = \pi \int_0^4 y dy$
3
计算积分：
4
$\pi \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_0^4 = \pi (8 - 0) = 8\pi$
5
体积是 $8 π$ 立方单位。

Exam tip:

一定要再次确认你绕哪个轴旋转，并对正确的变量积分。

5. 常见陷阱

错误做法:

当曲线穿过x轴或彼此相交时，忘记拆分积分

原因:

带符号面积会相互抵消，得到的总面积远小于真实几何面积

正确做法:

找到区间内所有交点，拆分积分，相加前对每部分取绝对值

错误做法:

旋转体体积公式中遗漏 $π$

原因:

圆形横截面的面积包含 $π$ ，因此体积必须包含这个常数

正确做法:

建立体积计算式时，始终将 $π$ 写在积分外

错误做法:

垫圈法中对半径差求平方

原因:

$π (R - r)^{2} \neq = π (R^{2} - r^{2})$ ，这会得到错误的体积

正确做法:

分别对每个半径平方，积分前减去平方值

错误做法:

绕y轴旋转时对x积分

原因:

IB标准方法要求绕y轴旋转时对y积分

正确做法:

整理函数得到x关于y的表达式，将积分限更新为y值，对y积分

错误做法:

计算两曲线间面积时，用下方函数减去上方函数

原因:

这会得到负的被积函数，几何面积不可能为负

正确做法:

确认每个区间内哪个是上方函数哪个是下方函数，始终用上方减下方

6. 速查表

计算类型	公式	要点
面积：曲线到x轴	$\sum \int_{a_{i}}^{b_{i}} f (x) d x$	在 $f (x)$ 变号处拆分
两曲线之间的面积	$\int_{a}^{b} (f_{u pp er} - f_{l o w er}) d x$	$a, b$ = 交点的x坐标
旋转体积：x轴（圆盘法）	$V = π \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x$	横截面垂直于x轴
旋转体积：x轴（垫圈法）	$V = π \int_{a}^{b} (R^{2} - r^{2}) d x$	R = 外半径，r = 内半径
旋转体积：y轴	$V = π \int_{c}^{d} [x (y)]^{2} d y$	先将x改写为y的函数

7. 常见问题

当曲线穿过坐标轴时，我需要拆分积分来计算面积吗？

需要。积分得到的是带符号面积，如果不拆分，正负面积会相互抵消。在所有交点处拆分，取绝对值后求和即可。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
两条二次曲线之间的面积
2024 · 2
绕x轴旋转的旋转体体积
2023 · 1
穿过x轴的曲线面积

下一步

面积和体积计算是积分的核心应用，经常出现在IB AA HL考试的Paper 1和Paper 2中，通常作为长大题多问问题的一部分。掌握这里的符号规则和公式建立方法，可以帮助你避免在考试日丢掉本应拿到的方法分。这个子主题直接建立在你对定积分的知识之上，也为运动学、微分方程和建模等其他积分应用铺平了道路。接下来，你可以将技能拓展到其他常见积分应用，或者复习更复杂函数的积分技巧。