# 积分的应用：面积与旋转体体积

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL 第五单元：微积分
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-applications-of-integration-area-and/

本模块讲解如何利用定积分计算曲线间的围成面积，以及绕x轴和y轴旋转的三维旋转体体积，这是IB AA HL微积分中一项核心的可考技能。

**先修:** [基础定积分和微积分基本定理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-fundamental-theorem-calculus/); [求函数的交点](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-solving-equations/)

## 学习目标

- 计算曲线与坐标轴之间的几何总面积
- 求两条相交连续曲线之间的面积
- 计算绕x轴和y轴旋转的旋转体体积
- 识别并避免常见的符号和公式错误

## 曲线与x轴之间的面积

**带符号面积 vs 总面积** — 定积分计算的是带符号面积：x轴上方的面积为正，x轴下方为负。几何总面积是函数不变号区间上各段带符号面积的绝对值之和。

当函数在积分区间内穿过x轴时，你必须将积分拆分为轴上方和轴下方两个单独部分。不这样做会导致正负面积相互抵消，得到错误结果。

**例题:** 求$f(x) = x$与x轴在$x=-2$和$x=3$之间围成的几何总面积。

1. 找到$f(x)$穿过x轴的位置：$x=0$，因此拆分为区间$[-2, 0]$和$[0, 3]$。计算第一个区间的带符号面积：
2. $$\int_{-2}^0 x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^0 = 0 - 2 = -2$$
3. 取负带符号面积的绝对值，加上第二个区间的正面积：
4. $$\text{Total Area} = \left| \int_{-2}^0 x dx \right| + \int_0^3 x dx = |-2| + \left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^3 = 2 + 4.5 = 6.5$$
5. 最终总面积为$\frac{13}{2}$平方单位。

> **考试提示:** 积分求面积前，一定要先检查区间内是否存在$f(x)=0$的根。

## 两条曲线之间的面积

**两条曲线之间的面积** — 对于区间$[a,b]$上的连续函数满足$f(x) \geq g(x)$，两曲线之间的总面积为$\int_a^b \left(f(x) - g(x)\right) dx$。上下限$a,b$几乎总是两条曲线交点的x坐标。

如果两曲线在区间内相交，需要在交点处拆分积分，和曲线穿过x轴的情况一样。始终用上方函数减去下方函数，保证被积函数为正。

**例题:** 求$f(x) = x^2$和$g(x) = x + 2$围成的面积。

1. 令两函数相等，求解交点：
2. $$x^2 = x+2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0$$
3. 积分限为$a=-1$，$b=2$。验证后确认该区间上$g(x) > f(x)$，因此列出积分：
4. $$\text{Area} = \int_{-1}^2 \left((x+2) - x^2\right) dx = \left[\frac{1}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^2$$
5. 计算结果：$x=2$处的原函数值为$\frac{10}{3}$，$x=-1$处为$-\frac{7}{6}$：
6. $$\frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$$
7. 总面积是$4.5$平方单位。

> **考试提示:** 如果题目没有给出积分限，一定要先求解交点，才能拿到全部方法分。

## 绕x轴旋转的旋转体体积

将由$y=f(x)$、x轴、$x=a$和$x=b$围成的区域绕x轴旋转360°，得到一个立体。垂直于x轴的横截面是半径为$|f(x)|$的圆，由此得到圆盘法公式：

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$$

对于两曲线之间的区域绕x轴旋转的情况，空心立体使用垫圈法，横截面积为外圆盘面积减去内圆盘面积：

$$V = \pi \int_a^b \left(R^2 - r^2\right) dx = \pi \int_a^b \left([f_{\text{outer}}(x)]^2 - [f_{\text{inner}}(x)]^2\right) dx$$

**例题:** 求由$y = x+1$、x轴、$x=0$和$x=2$围成的区域绕x轴旋转360°得到的立体体积。

1. 确认在区间$[0,2]$上$y = x+1 \geq 0$，因此半径为$f(x) = x+1$。应用圆盘公式：
2. $$V = \pi \int_0^2 (x+1)^2 dx = \pi \int_0^2 (x^2 + 2x + 1) dx$$
3. 积分并计算结果：
4. $$\pi \left[ \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x \right]_0^2 = \pi \left( \frac{8}{3} + 4 + 2 \right) = \frac{26}{3}\pi \approx 27.23$$
5. 体积是$\frac{26}{3}\pi$立方单位。

> **warning**
>
> 不要忘记体积公式中的$\pi$！考官几乎总是会因为遗漏它扣除整分。

## 绕y轴旋转的旋转体体积

对于绕y轴旋转，IB要求对y积分。首先将函数$y = f(x)$改写为$x = x(y)$，然后找到y的积分限。公式和绕x轴旋转类似：

$$V = \pi \int_c^d [x(y)]^2 dy$$

IB AA HL不要求壳层法，因此考试只会考察这种对y积分的标准方法。

**例题:** 求由$y = x^2$、$y=0$和$y=4$围成的区域绕y轴旋转360°得到的体积。

1. 将$y = x^2$改写为$x = \sqrt{y}$（$x \geq 0$取正根）。y的积分限为$c=0$，$d=4$。应用公式：
2. $$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{y})^2 dy = \pi \int_0^4 y dy$$
3. 计算积分：
4. $$\pi \left[ \frac{1}{2}y^2 \right]_0^4 = \pi (8 - 0) = 8\pi$$
5. 体积是$8\pi$立方单位。

> **考试提示:** 一定要再次确认你绕哪个轴旋转，并对正确的变量积分。

## 常见错误

- **错误做法:** 当曲线穿过x轴或彼此相交时，忘记拆分积分
  - 原因: 带符号面积会相互抵消，得到的总面积远小于真实几何面积
  - 正确做法: 找到区间内所有交点，拆分积分，相加前对每部分取绝对值
- **错误做法:** 旋转体体积公式中遗漏$\pi$
  - 原因: 圆形横截面的面积包含$\pi$，因此体积必须包含这个常数
  - 正确做法: 建立体积计算式时，始终将$\pi$写在积分外
- **错误做法:** 垫圈法中对半径差求平方
  - 原因: $\pi(R-r)^2 \neq \pi(R^2 - r^2)$，这会得到错误的体积
  - 正确做法: 分别对每个半径平方，积分前减去平方值
- **错误做法:** 绕y轴旋转时对x积分
  - 原因: IB标准方法要求绕y轴旋转时对y积分
  - 正确做法: 整理函数得到x关于y的表达式，将积分限更新为y值，对y积分
- **错误做法:** 计算两曲线间面积时，用下方函数减去上方函数
  - 原因: 这会得到负的被积函数，几何面积不可能为负
  - 正确做法: 确认每个区间内哪个是上方函数哪个是下方函数，始终用上方减下方

## 速查表

| 计算类型 | 公式 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 面积：曲线到x轴 | $\sum \left\| \int_{a_i}^{b_i} f(x) dx \right\|$ | 在$f(x)$变号处拆分 |
| 两曲线之间的面积 | $\int_a^b (f_{upper} - f_{lower}) dx$ | $a,b$ = 交点的x坐标 |
| 旋转体积：x轴（圆盘法） | $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$ | 横截面垂直于x轴 |
| 旋转体积：x轴（垫圈法） | $V = \pi \int_a^b (R^2 - r^2) dx$ | R = 外半径，r = 内半径 |
| 旋转体积：y轴 | $V = \pi \int_c^d [x(y)]^2 dy$ | 先将x改写为y的函数 |

## 下一步

面积和体积计算是积分的核心应用，经常出现在IB AA HL考试的Paper 1和Paper 2中，通常作为长大题多问问题的一部分。掌握这里的符号规则和公式建立方法，可以帮助你避免在考试日丢掉本应拿到的方法分。这个子主题直接建立在你对定积分的知识之上，也为运动学、微分方程和建模等其他积分应用铺平了道路。接下来，你可以将技能拓展到其他常见积分应用，或者复习更复杂函数的积分技巧。

- [一阶微分方程（仅HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-first-order-differential-equations/)
- [麦克劳林级数与泰勒级数（仅限HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-maclaurin-and-taylor-series/)

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