微分的应用

IB 数学 AA HL· Unit 5: Calculus, Topic 7: Applications of differentiation· 15 分钟阅读

1. 曲线的切线与法线★★☆☆☆⏱ 5 min

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📘 定义

切线与法线

Gradient of tangent at $x = a$ : $f^{'} (a)$

曲线在某点的切线在该点局部与曲线相切，斜率等于该点的导数值。法线在同一点与切线垂直，斜率等于切线斜率的负倒数。

例:

若切线斜率为 2，法线斜率为 $- \frac{1}{2}$

📐 例题

求曲线 $y = x^{3} - 2 x + 1$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线和法线方程

1
计算一阶导数（斜率函数）：
2
$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$
3
计算 $x = 1$ 处的斜率：
4
$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 3(1)^2 - 2 = 1$
5
用点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 求切线方程：
6
$y - 0 = 1(x - 1) \implies y = x - 1$
7
计算法线斜率（切线斜率的负倒数）：
8
$m_n = -\frac{1}{1} = -1$
9
用点斜式求法线方程：
10
$y - 0 = -1(x - 1) \implies y = -x + 1$

Exam tip:

务必确认题目要求的是切线还是法线，并且反复检查法线斜率的负号。

2. 增函数/减函数与驻点★★☆☆☆⏱ 6 min

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📘 定义

驻点

$f (x)$ 的驻点是满足 $f^{'} (x) = 0$ 的任意点，因此曲线在该点斜率为零。驻点可分为局部极大值点、局部极小值点或驻点拐点。

例:

$f (x) = x^{3}$ 在 $x = 0$ 处有一个驻点拐点

我们利用一阶导数的符号判断函数在区间上是递增还是递减：若 $f^{'} (x) > 0$ ，函数递增；若 $f^{'} (x) < 0$ ，函数递减。

📐 例题

求 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ 的递增/递减区间，并找出所有驻点。

1
计算一阶导数：
2
$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$
3
通过解方程 $f^{'} (x) = 0$ 寻找驻点：
4
$3x(x - 2) = 0 \implies x=0, \quad x=2$
5
在各区间测试 $f^{'} (x)$ 的符号：
6
1. $x < 0$ : $f^{'} (x) = 3 (-) (-) = + > 0 ⟹$ 递增
7
1. $0 < x < 2$ : $f^{'} (x) = 3 (+) (-) = - < 0 ⟹$ 递减
8
1. $x > 2$ : $f^{'} (x) = 3 (+) (+) = + > 0 ⟹$ 递增

Exam tip:

务必测试临界点附近 $f^{'} (x)$ 的符号，不要预先假设极值点的顺序。

3. 驻点分类★★★☆☆⏱ 8 min

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方法对比

IB考试中两种分类方法都接受，除非题目指定方法，否则两种都有效：

一阶导数测试

检查驻点 $x = a$ 周围 $f^{'} (x)$ 的符号变化：正变负是极大值，负变正是极小值，无变化是拐点。

+ 优点: 适用于所有驻点，包括拐点

− 缺点: 需要测试两个点，计算量更大

二阶导数测试

计算驻点 $x = a$ 处的 $f^{''} (a)$ ： $f^{''} (a) < 0$ 是极大值， $f^{''} (a) > 0$ 是极小值， $f^{''} (a) = 0$ 结果不确定。

+ 优点: 对多项式这类简单函数计算很快

− 缺点: $f''(a)=0$ 时结果不确定，无法总是识别拐点

📐 例题

用二阶导数测试分类 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ 的驻点。

1
我们已经找到驻点在 $x = 0$ 和 $x = 2$ 处。
2
计算二阶导数：
3
$f''(x) = 6x - 6$
4
计算 $x = 0$ 处的值：
5
$f''(0) = -6 < 0 \implies \text{local maximum at } x=0$
6
计算 $x = 2$ 处的值：
7
$f''(2) = 12 - 6 = 6 > 0 \implies \text{local minimum at } x=2$

✓ 快速检测

测试你对二阶导数测试的理解：

若 $f^{'} (a) = 0$ 且 $f^{''} (a) = 0$ ，正确的下一步是什么？
- 一定是驻点拐点
- 二阶导数测试结果不确定，应使用一阶导数测试
- 一定是局部极大值点
- 一定是局部极小值点
显示答案
二阶导数测试结果不确定，应使用一阶导数测试 —
当 $f^{''} (a) = 0$ 时，我们无法从二阶导数测试得出结论，因此必须检查 $x = a$ 周围 $f^{'} (x)$ 的符号变化。

4. 最优化问题★★★★☆⏱ 10 min

✓ 计算器

最优化问题要求你在实际场景中找到某个量（体积、面积、成本等）的最大值或最小值。标准方法是：(1) 将该量表示为单变量函数，(2) 寻找驻点，(3) 分类以确认你得到了所需的最大值/最小值。

📐 例题

一个底为正方形的长方体盒子总表面积为600 cm²，求该盒子的最大可能体积。

1
设底面边长为 $x$ cm，高为 $h$ cm。总表面积：
2
$2x^2 + 4xh = 600$
3
用 $x$ 表示 $h$ ：
4
$h = \frac{300 - x^2}{2x}$
5
将体积写为 $x$ 的函数：
6
$V = x^2 h = 150x - \frac{1}{2}x^3$
7
求导并解方程找驻点：
8
$\frac{dV}{dx} = 150 - \frac{3}{2}x^2 = 0 \implies x^2 = 100 \implies x = 10$
9
用二阶导数测试分类：
10
$\frac{d^2V}{dx^2} = -3x \implies \frac{d^2V}{dx^2}\bigg|_{x=10} = -30 < 0$
11
计算最大体积：
12
$V = 150(10) - \frac{1}{2}(10)^3 = 1000 \text{ cm}^3$

Exam tip:

务必确认你的解符合物理意义（例如长度为正），并且明确分类驻点才能拿到满分。

5. 常见陷阱

错误做法:

将法线斜率写为 $1/ f^{'} (a)$ （忘记负号）

原因:

垂线的斜率乘积为 $- 1$ ，不是1

正确做法:

法线斜率始终使用 $m_{n} = - \frac{1}{m _{t}}$ ，不要遗漏负号

错误做法:

自动将 $f^{'} (a) = 0, f^{''} (a) = 0$ 的点分类为拐点

原因:

$f^{''} (a) = 0$ 不能保证是拐点，我们需要 $f^{''} (x)$ 在该点变号

正确做法:

当 $f^{''} (a) = 0$ 时，使用一阶导数测试分类驻点

错误做法:

最优化问题中找到驻点后就停止，不进行分类

原因:

IB考试会给确认你找到了所需极值的步骤赋分

正确做法:

始终对驻点分类，确认它是所需的最大值/最小值

错误做法:

将递增/递减区间写为包含驻点的闭区间

原因:

在驻点处 $f^{'} (x) = 0$ ，因此函数既不递增也不递减

正确做法:

递增/递减区间使用开区间，例如 $(0, 2)$ 不是 $[0, 2]$

6. 速查表

概念	核心结论
$x = a$ 处的切线斜率	$m_{t} = f^{'} (a)$
$x = a$ 处的法线斜率	$m_{n} = - 1/ f^{'} (a)$
递增区间	$f^{'} (x) > 0$
递减区间	$f^{'} (x) < 0$
驻点	$f^{'} (x) = 0$
局部极大值（二阶测试）	$f^{'} (a) = 0, f^{''} (a) < 0$
局部极小值（二阶测试）	$f^{'} (a) = 0, f^{''} (a) > 0$
最优化步骤1	将量写为单变量函数
最优化步骤2	寻找并分类驻点

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

微分的应用是IB数学AA HL中考核占比最高的核心考点之一，它是隐函数微分、参数微分和积分应用等更高级微积分内容的基础。最优化和驻点分类是Paper 1和Paper 2中常见的长答题，因此掌握这里的方法对取得高分至关重要。本主题还介绍了极值问题的核心推理技巧，这些技巧会在积分、微分方程等后续主题中重复使用。接下来，你可以在本知识的基础上，学习隐函数和参数定义曲线的微分应用，然后进入相关速率问题，这是微分应用在考试中的另一种常见题型。