# 微分的应用

> IB 数学 AA HL · IB AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-applications-of-differentiation/

本模块涵盖IB AA HL微分的核心实际应用，包括切线/法线、驻点分类、递增/递减区间，以及常见的实际最优化问题。

**先修:** [基本微分法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-differentiation-rules/); [链式法则、乘积法则与商法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-differentiation-techniques/)

## 学习目标

- 求给定点处曲线的切线和法线方程
- 确定函数的递增/递减区间
- 利用一阶/二阶导数法寻找并分类驻点
- 求解实际场景中的最优化问题

## 曲线的切线与法线

**切线与法线** — 曲线在某点的切线在该点局部与曲线相切，斜率等于该点的导数值。法线在同一点与切线垂直，斜率等于切线斜率的负倒数。

*记法:* Gradient of tangent at $x=a$: $f'(a)$

*例:* 若切线斜率为 2，法线斜率为 $-\frac{1}{2}$

**例题:** 求曲线 $y = x^3 - 2x + 1$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线和法线方程

1. 计算一阶导数（斜率函数）：
2. $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 2$$
3. 计算 $x=1$ 处的斜率：
4. $$\frac{dy}{dx}\bigg|_{x=1} = 3(1)^2 - 2 = 1$$
5. 用点斜式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ 求切线方程：
6. $$y - 0 = 1(x - 1) \implies y = x - 1$$
7. 计算法线斜率（切线斜率的负倒数）：
8. $$m_n = -\frac{1}{1} = -1$$
9. 用点斜式求法线方程：
10. $$y - 0 = -1(x - 1) \implies y = -x + 1$$

> **考试提示:** 务必确认题目要求的是切线还是法线，并且反复检查法线斜率的负号。

*计算器:* allowed

## 增函数/减函数与驻点

**驻点** — $f(x)$ 的驻点是满足 $f'(x) = 0$ 的任意点，因此曲线在该点斜率为零。驻点可分为局部极大值点、局部极小值点或驻点拐点。

*例:* $f(x) = x^3$ 在 $x=0$ 处有一个驻点拐点

我们利用一阶导数的符号判断函数在区间上是递增还是递减：若 $f'(x) > 0$，函数递增；若 $f'(x) < 0$，函数递减。

**例题:** 求 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的递增/递减区间，并找出所有驻点。

1. 计算一阶导数：
2. $$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$
3. 通过解方程 $f'(x) = 0$ 寻找驻点：
4. $$3x(x - 2) = 0 \implies x=0, \quad x=2$$
5. 在各区间测试 $f'(x)$ 的符号：
6. 1. $x < 0$: $f'(x) = 3(-)(-) = + > 0 \implies$ 递增
7. 2. $0 < x < 2$: $f'(x) = 3(+)(-) = - < 0 \implies$ 递减
8. 3. $x > 2$: $f'(x) = 3(+)(+) = + > 0 \implies$ 递增

> **考试提示:** 务必测试临界点附近 $f'(x)$ 的符号，不要预先假设极值点的顺序。

*计算器:* allowed

## 驻点分类

**方法对比**

IB考试中两种分类方法都接受，除非题目指定方法，否则两种都有效：

- **一阶导数测试** — 检查驻点 $x=a$ 周围 $f'(x)$ 的符号变化：正变负是极大值，负变正是极小值，无变化是拐点。
  - 优点: 适用于所有驻点，包括拐点
  - 缺点: 需要测试两个点，计算量更大

- **二阶导数测试** — 计算驻点 $x=a$ 处的 $f''(a)$：$f''(a) < 0$ 是极大值，$f''(a) > 0$ 是极小值，$f''(a)=0$ 结果不确定。
  - 优点: 对多项式这类简单函数计算很快
  - 缺点: $f''(a)=0$ 时结果不确定，无法总是识别拐点

**例题:** 用二阶导数测试分类 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的驻点。

1. 我们已经找到驻点在 $x=0$ 和 $x=2$ 处。
2. 计算二阶导数：
3. $$f''(x) = 6x - 6$$
4. 计算 $x=0$ 处的值：
5. $$f''(0) = -6 < 0 \implies \text{local maximum at } x=0$$
6. 计算 $x=2$ 处的值：
7. $$f''(2) = 12 - 6 = 6 > 0 \implies \text{local minimum at } x=2$$

**概念自测**

测试你对二阶导数测试的理解：

1. 若 $f'(a) = 0$ 且 $f''(a) = 0$，正确的下一步是什么？

   - 一定是驻点拐点
   - 二阶导数测试结果不确定，应使用一阶导数测试
   - 一定是局部极大值点
   - 一定是局部极小值点

   *解析:* 当 $f''(a)=0$ 时，我们无法从二阶导数测试得出结论，因此必须检查 $x=a$ 周围 $f'(x)$ 的符号变化。

*计算器:* allowed

## 最优化问题

最优化问题要求你在实际场景中找到某个量（体积、面积、成本等）的最大值或最小值。标准方法是：(1) 将该量表示为单变量函数，(2) 寻找驻点，(3) 分类以确认你得到了所需的最大值/最小值。

**例题:** 一个底为正方形的长方体盒子总表面积为600 cm²，求该盒子的最大可能体积。

1. 设底面边长为 $x$ cm，高为 $h$ cm。总表面积：
2. $$2x^2 + 4xh = 600$$
3. 用 $x$ 表示 $h$：
4. $$h = \frac{300 - x^2}{2x}$$
5. 将体积写为 $x$ 的函数：
6. $$V = x^2 h = 150x - \frac{1}{2}x^3$$
7. 求导并解方程找驻点：
8. $$\frac{dV}{dx} = 150 - \frac{3}{2}x^2 = 0 \implies x^2 = 100 \implies x = 10$$
9. 用二阶导数测试分类：
10. $$\frac{d^2V}{dx^2} = -3x \implies \frac{d^2V}{dx^2}\bigg|_{x=10} = -30 < 0$$
11. 计算最大体积：
12. $$V = 150(10) - \frac{1}{2}(10)^3 = 1000 \text{ cm}^3$$

> **考试提示:** 务必确认你的解符合物理意义（例如长度为正），并且明确分类驻点才能拿到满分。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 将法线斜率写为 $1/f'(a)$（忘记负号）
  - 原因: 垂线的斜率乘积为 $-1$，不是1
  - 正确做法: 法线斜率始终使用 $m_n = -\frac{1}{m_t}$，不要遗漏负号
- **错误做法:** 自动将 $f'(a)=0, f''(a)=0$ 的点分类为拐点
  - 原因: $f''(a)=0$ 不能保证是拐点，我们需要 $f''(x)$ 在该点变号
  - 正确做法: 当 $f''(a)=0$ 时，使用一阶导数测试分类驻点
- **错误做法:** 最优化问题中找到驻点后就停止，不进行分类
  - 原因: IB考试会给确认你找到了所需极值的步骤赋分
  - 正确做法: 始终对驻点分类，确认它是所需的最大值/最小值
- **错误做法:** 将递增/递减区间写为包含驻点的闭区间
  - 原因: 在驻点处 $f'(x)=0$，因此函数既不递增也不递减
  - 正确做法: 递增/递减区间使用开区间，例如 $(0,2)$ 不是 $[0,2]$

## 速查表

| 概念 | 核心结论 |
| --- | --- |
| $x=a$ 处的切线斜率 | $m_t = f'(a)$ |
| $x=a$ 处的法线斜率 | $m_n = -1/f'(a)$ |
| 递增区间 | $f'(x) > 0$ |
| 递减区间 | $f'(x) < 0$ |
| 驻点 | $f'(x) = 0$ |
| 局部极大值（二阶测试） | $f'(a)=0, f''(a) < 0$ |
| 局部极小值（二阶测试） | $f'(a)=0, f''(a) > 0$ |
| 最优化步骤1 | 将量写为单变量函数 |
| 最优化步骤2 | 寻找并分类驻点 |

## 下一步

微分的应用是IB数学AA HL中考核占比最高的核心考点之一，它是隐函数微分、参数微分和积分应用等更高级微积分内容的基础。最优化和驻点分类是Paper 1和Paper 2中常见的长答题，因此掌握这里的方法对取得高分至关重要。本主题还介绍了极值问题的核心推理技巧，这些技巧会在积分、微分方程等后续主题中重复使用。接下来，你可以在本知识的基础上，学习隐函数和参数定义曲线的微分应用，然后进入相关速率问题，这是微分应用在考试中的另一种常见题型。

- [不定积分与定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-indefinite-and-definite-integration/)
- [积分技巧：换元法、分部积分、部分分式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u5-integration-techniques-substitution-parts-partial/)

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