正态分布

IB 数学：分析与方法 HL· 45 分钟阅读

1. 正态分布的性质★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

正态分布

$X \sim N (μ, σ^{2})$

对称钟型的连续概率分布，由均值 $μ$ （中心位置）和方差 $σ^{2}$ （离散程度）参数化。

例:

成年人身高、测量误差和考试成绩通常都服从正态分布。

正态概率密度函数关于 $μ$ 对称，最高点位于均值处，曲线下总面积等于1。经验法则描述了距离均值1、2、3个标准差范围内的数据占比。

📐 例题

已知 $X \sim N (75, 1 0^{2})$ ，观测值落在55和95之间的比例是多少？

1
确定参数： $μ = 75$ ， $σ = 10$ 。
2
将区间边界用均值和标准差表示：
3
$55 = 75 - 2(10), \quad 95 = 75 + 2(10)$
4
根据经验法则，95%的数据落在距离均值2个标准差范围内，因此有95%的观测值落在55到95之间。

2. 通过标准化计算概率★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

标准正态分布

$Z \sim N (0, 1)$

正态分布的特殊情况，均值为0、方差为1，用于标准化任意正态变量，以便在不同尺度间比较。

要计算任意正态分布的概率，我们需要使用标准化公式将观测值 $x$ 转换为Z分数：

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

对于正态这类连续分布， $P (X < k) = P (X \leq k)$ ，因为任意单个精确值的概率为0。

📐 例题

已知 $X \sim N (30, 4^{2})$ ，求 $P (X < 36)$ 。

1
确定参数： $μ = 30$ ， $σ = 4$ （对方差16开平方得到）。
2
计算Z分数：
3
$z = \frac{36 - 30}{4} = 1.5$
4
从正态表或计算器中查找 $Z < 1.5$ 对应的累积概率： $P (Z < 1.5) \approx 0.933$ ，因此 $P (X < 36) \approx 0.933$ 。

✓ 快速检测

检验你的理解

上述例子中 $x = 22$ 对应的Z分数是多少？
- A) 2
- B) -2
- C) -1.5
- D) 1.5
显示答案
B —
正确： $z = (22 - 30) /4 = - 2$

3. 逆正态分布计算★★★☆☆⏱ 20 min

逆正态分布是概率计算的逆过程：从给定的累积概率出发，找到对应的 $x$ 值。这是正态分布最常见的考试题型之一。

📘 定义

逆正态分布

对于给定参数 $μ$ 和 $σ$ 的正态分布，返回满足累积概率 $P (X < x) = p$ 的 $x$ 值的函数。

📐 例题

罐装苏打水的容量服从正态分布，均值为330ml，标准差为5ml。求占比15%的最高容量罐的最小容量。

1
定义分布： $X \sim N (330, 5^{2})$ 。我们需要找到满足 $P (X > x) = 0.15$ 的 $x$ ，因此 $P (X < x) = 1 - 0.15 = 0.85$ 。
2
找到累积概率0.85对应的Z分数： $z \approx 1.036$ 。
3
整理Z分数公式求解 $x$ ：
4
$x = \mu + z\sigma = 330 + (1.036)(5) \approx 335.2$
5
占比15%的最高容量罐的最小容量约为335ml。

4. 求解未知$\mu$或$\sigma$ (HL)★★★★☆HL 专属⏱ 25 min

✓ 计算器

这是HL独有的进阶题型，题目会给出概率和对应数值，要求你求出未知均值或标准差。这需要你用Z分数公式建立方程，再求解未知参数。

📐 例题

完成一场考试的时间服从正态分布，标准差为12分钟。10%的学生在80分钟内完成考试。求平均考试时间。

1
已知 $X \sim N (μ, 1 2^{2})$ ，且 $P (X < 80) = 0.10$ 。
2
找到累积概率0.10对应的Z分数： $z \approx - 1.282$ 。
3
代入Z分数公式：
4
$-1.282 = \frac{80 - \mu}{12}$
5
求解 $μ$ ：
6
$80 - \mu = -15.384 \implies \mu = 80 + 15.384 \approx 95.4$
7
完成考试的平均时间约为95.4分钟。

5. 常见陷阱

错误做法:

在Z分数公式中使用方差 $σ^{2}$ 而非标准差 $σ$ 。

原因:

正态分布的记号中第二个参数是方差，因此很容易忘记对其开平方。

正确做法:

计算Z分数时，始终确认你使用的是标准差，即给定方差的平方根。

错误做法:

在上尾逆正态问题中，直接将p作为累积概率。

原因:

大多数计算器和分布表默认返回下尾累积概率。

正确做法:

求最高p%的数值时，计算Z分数或逆正态结果时使用累积概率 $1 - p$ 。

错误做法:

计算正态分布的 $P (X = k)$ 。

原因:

正态分布是连续分布，因此任意单个精确值的概率都是0。

正确做法:

如果你需要求四舍五入后的离散值（例如180cm）的概率，使用连续近似 $P (179.5 < X < 180.5)$ 。

错误做法:

假设所有对称钟型数据都服从正态分布。

原因:

许多分布是对称的但不是正态分布，因此除非题目说明，否则不能假设服从正态分布。

正确做法:

只有当题目明确说明变量服从正态分布时，才能使用正态分布方法。

错误做法:

忘记给小于均值的Z分数添加负号。

原因:

分布表通常只显示正Z分数，容易导致漏写负号。

正确做法:

反复检查Z分数的符号：小于均值的数值Z分数为负，大于均值的为正。

6. 速查表

概念	核心公式/法则
正态分布记号	$X \sim N (μ, σ^{2})$
Z分数变换	$z = \frac{x - μ}{σ}$
经验法则	68% (1 $σ$ ), 95% (2 $σ$ ), 99.7% (3 $σ$ )
最高p%的逆正态计算	Use cumulative probability $1 - p$
标准正态分布	$Z \sim N (0, 1)$
连续分布概率性质	$P (X < k) = P (X \leq k)$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · Paper 1
逆正态概率计算
2022 · Paper 2
求解未知均值和标准差
2021 · Paper 1
两个数值之间的概率

下一步

正态分布是几乎所有推断统计（从置信区间到假设检验）的基础概念。在IB AA HL中，它经常与其他知识点结合，包括二项分布（HL知识点中用正态近似二项变量）和抽样分布的中心极限定理。掌握正态分布计算对Paper 1和Paper 2都至关重要，也是大学未来学习统计学的基础。

→二元数据：相关性与回归