# 正态分布

> IB 数学：分析与方法 HL · 统计与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-normal-distribution/

正态分布是应用最广泛的连续概率分布，可描述许多自然和人造现象。本指南涵盖IB AA HL要求的其关键性质、概率计算和逆正态应用。

**先修:** [连续概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-continuous-probability/); 基础概率法则

## 学习目标

- 回顾正态分布曲线的关键性质
- 标准化正态变量并计算累积概率
- 使用逆正态分布求给定概率对应的分位数
- 在HL题目中求解未知均值或标准差

## 正态分布的性质

**正态分布** — 对称钟型的连续概率分布，由均值$\mu$（中心位置）和方差$\sigma^2$（离散程度）参数化。

*记法:* $X \sim N(\mu, \sigma^2)$

*例:* 成年人身高、测量误差和考试成绩通常都服从正态分布。

正态概率密度函数关于$\mu$对称，最高点位于均值处，曲线下总面积等于1。经验法则描述了距离均值1、2、3个标准差范围内的数据占比。

> **经验法则记忆口诀**
>
> 一68，二95，三99.7，对应比例的数据落在距离均值1、2、3个标准差范围内。

**例题:** 已知$X \sim N(75, 10^2)$，观测值落在55和95之间的比例是多少？

1. 确定参数：$\mu = 75$，$\sigma = 10$。
2. 将区间边界用均值和标准差表示：
3. $$55 = 75 - 2(10), \quad 95 = 75 + 2(10)$$
4. 根据经验法则，95%的数据落在距离均值2个标准差范围内，因此有95%的观测值落在55到95之间。

## 通过标准化计算概率

**标准正态分布** — 正态分布的特殊情况，均值为0、方差为1，用于标准化任意正态变量，以便在不同尺度间比较。

*记法:* $Z \sim N(0, 1)$

要计算任意正态分布的概率，我们需要使用标准化公式将观测值$x$转换为Z分数：

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

对于正态这类连续分布，$P(X < k) = P(X \leq k)$，因为任意单个精确值的概率为0。

**例题:** 已知$X \sim N(30, 4^2)$，求$P(X < 36)$。

1. 确定参数：$\mu = 30$，$\sigma = 4$（对方差16开平方得到）。
2. 计算Z分数：
3. $$z = \frac{36 - 30}{4} = 1.5$$
4. 从正态表或计算器中查找$Z < 1.5$对应的累积概率：$P(Z < 1.5) \approx 0.933$，因此$P(X < 36) \approx 0.933$。

**概念自测**

检验你的理解

1. 上述例子中$x=22$对应的Z分数是多少？

   - A) 2
   - B) -2
   - C) -1.5
   - D) 1.5

   *解析:* 正确：$z = (22 - 30)/4 = -2$

## 逆正态分布计算

逆正态分布是概率计算的逆过程：从给定的累积概率出发，找到对应的$x$值。这是正态分布最常见的考试题型之一。

**逆正态分布** — 对于给定参数$\mu$和$\sigma$的正态分布，返回满足累积概率$P(X < x) = p$的$x$值的函数。

**例题:** 罐装苏打水的容量服从正态分布，均值为330ml，标准差为5ml。求占比15%的最高容量罐的最小容量。

1. 定义分布：$X \sim N(330, 5^2)$。我们需要找到满足$P(X > x) = 0.15$的$x$，因此$P(X < x) = 1 - 0.15 = 0.85$。
2. 找到累积概率0.85对应的Z分数：$z \approx 1.036$。
3. 整理Z分数公式求解$x$：
4. $$x = \mu + z\sigma = 330 + (1.036)(5) \approx 335.2$$
5. 占比15%的最高容量罐的最小容量约为335ml。

> **tip**
>
> 始终确认题目需要的是下尾还是上尾。求最高/上p%的分位数时，始终使用累积概率1-p。

## 求解未知$\mu$或$\sigma$ (HL)

这是HL独有的进阶题型，题目会给出概率和对应数值，要求你求出未知均值或标准差。这需要你用Z分数公式建立方程，再求解未知参数。

**例题:** 完成一场考试的时间服从正态分布，标准差为12分钟。10%的学生在80分钟内完成考试。求平均考试时间。

1. 已知$X \sim N(\mu, 12^2)$，且$P(X < 80) = 0.10$。
2. 找到累积概率0.10对应的Z分数：$z \approx -1.282$。
3. 代入Z分数公式：
4. $$-1.282 = \frac{80 - \mu}{12}$$
5. 求解$\mu$：
6. $$80 - \mu = -15.384 \implies \mu = 80 + 15.384 \approx 95.4$$
7. 完成考试的平均时间约为95.4分钟。

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 在Z分数公式中使用方差$\sigma^2$而非标准差$\sigma$。
  - 原因: 正态分布的记号中第二个参数是方差，因此很容易忘记对其开平方。
  - 正确做法: 计算Z分数时，始终确认你使用的是标准差，即给定方差的平方根。
- **错误做法:** 在上尾逆正态问题中，直接将p作为累积概率。
  - 原因: 大多数计算器和分布表默认返回下尾累积概率。
  - 正确做法: 求最高p%的数值时，计算Z分数或逆正态结果时使用累积概率$1-p$。
- **错误做法:** 计算正态分布的$P(X = k)$。
  - 原因: 正态分布是连续分布，因此任意单个精确值的概率都是0。
  - 正确做法: 如果你需要求四舍五入后的离散值（例如180cm）的概率，使用连续近似$P(179.5 < X < 180.5)$。
- **错误做法:** 假设所有对称钟型数据都服从正态分布。
  - 原因: 许多分布是对称的但不是正态分布，因此除非题目说明，否则不能假设服从正态分布。
  - 正确做法: 只有当题目明确说明变量服从正态分布时，才能使用正态分布方法。
- **错误做法:** 忘记给小于均值的Z分数添加负号。
  - 原因: 分布表通常只显示正Z分数，容易导致漏写负号。
  - 正确做法: 反复检查Z分数的符号：小于均值的数值Z分数为负，大于均值的为正。

## 速查表

| 概念 | 核心公式/法则 |
| --- | --- |
| 正态分布记号 | $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ |
| Z分数变换 | $z = \frac{x - \mu}{\sigma}$ |
| 经验法则 | 68% (1$\sigma$), 95% (2$\sigma$), 99.7% (3$\sigma$) |
| 最高p%的逆正态计算 | Use cumulative probability $1-p$ |
| 标准正态分布 | $Z \sim N(0, 1)$ |
| 连续分布概率性质 | $P(X < k) = P(X \leq k)$ |

## 下一步

正态分布是概率论中的基础概念，在IB AA HL中经常考查，通常与条件概率等其他知识点结合。请注意：置信区间、假设检验、中心极限定理以及二项分布的正态近似都属于Math AI，而非AA，不属于AA HL的要求范围。掌握正态分布计算对Paper 1和Paper 2都至关重要，也是大学未来学习统计学的基础。

- [二元数据：相关性与回归](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-bivariate-data-correlation-and-regression/)

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