离散概率分布

IB 数学：分析与方法高级水平· Unit 4: Statistics & Probability· 35 分钟阅读

1. 离散随机变量与概率质量函数★★☆☆☆⏱ 10 min

随机变量为随机试验的每个结果分配一个数值。离散随机变量只能取可数个不同值（例如0, 1, 2, ..., 10）。

📘 定义

离散随机变量

只能取可数个不同可能值的随机变量。

例:

5张牌中红牌的数量、一批产品中的次品数量

📘 定义

概率质量函数 (pmf)

p(x) = P(X=x)

对所有合法 $x$ 满足两个核心条件的函数： $0 \leq p (x) \leq 1$ ，且所有可能 $x$ 对应的 $p (x)$ 之和等于1。

📐 例题

离散随机变量 $X$ 的pmf为，当 $x \in {1, 2, 3, 4}$ 时 $P (X = x) = k x$ ，其余情况为0。求 $k$ 的值。

1
利用所有概率之和等于1的核心性质：
$\sum_{x=1}^4 P(X=x) = 1$
2
将pmf代入求和式：
$k(1) + k(2) + k(3) + k(4) = 1 \implies 10k = 1$
3
求解 $k$ ：
$k = \frac{1}{10}$

Exam tip:

始终检查pmf的总和是否等于1，这是考试中快速发现计算错误的方法。

2. 累积分布函数★★★☆☆⏱ 10 min

累积分布函数（cdf）给出随机变量 $X$ 小于等于给定值 $x$ 的概率，它对计算区间结果的概率非常有用。

📘 定义

累积分布函数 (cdf)

F(x) = P(X \leq x)

对离散 $X$ ， $F (x)$ 是所有小于等于 $x$ 的 $X$ 取值对应的pmf之和。它始终非递减，取值范围为0到1。

📐 例题

已知 $x = 1, 2, 3, 4$ 时pmf为 $P (X = x) = \frac{x}{10}$ ，求累积分布函数 $F (x)$ 。

1
当 $x < 1$ 时，没有 $X$ 取值小于等于 $x$ ，因此 $F (x) = 0$ 。
2
当 $1 \leq x < 2$ 时，仅包含 $x = 1$ ：
$F(x) = P(X=1) = \frac{1}{10}$
3
当 $2 \leq x < 3$ 时，加上 $x = 2$ 的概率：
$F(x) = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$
4
当 $3 \leq x < 4$ 时，加上 $x = 3$ 的概率：
$F(x) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$
5
当 $x \geq 4$ 时，加上所有概率：
$F(x) = \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = 1$

Exam tip:

对离散 $X$ 计算 $P (a < X \leq b)$ 时，可使用捷径 $F (b) - F (a)$ ，比对每个概率求和更节省时间。

3. 期望与方差★★★☆☆⏱ 12 min

期望（或总体均值）衡量分布的中心位置，方差衡量分布在中心周围的分散程度。二者是所有离散分布的核心汇总统计量。

📘 定义

期望

E[X] \text{ or } \mu

期望是 $X$ 在大量重复试验中的长期平均值，计算公式为： $E [X] = \sum_{x} x \cdot p (x)$ 。

📘 定义

方差

\text{Var}(X) \text{ or } \sigma^2

方差衡量分散程度，使用以下捷径公式计算最高效：

\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2, \quad \text{where } E[X^2] = \sum_x x^2 p(x)

📐 例题

已知分布 $P (X = x) = \frac{x}{10}$ ， $x \in {1, 2, 3, 4}$ ，计算 $E [X]$ 和 $Var (X)$ 。

1
通过求和 $x \cdot p (x)$ 计算期望：
$E[X] = (1 \cdot \frac{1}{10}) + (2 \cdot \frac{2}{10}) + (3 \cdot \frac{3}{10}) + (4 \cdot \frac{4}{10}) = \frac{30}{10} = 3$
2
为方差公式计算 $E [X^{2}]$ ：
$E[X^2] = (1^2 \cdot \frac{1}{10}) + (2^2 \cdot \frac{2}{10}) + (3^2 \cdot \frac{3}{10}) + (4^2 \cdot \frac{4}{10}) = \frac{100}{10} = 10$
3
应用方差捷径公式：
$\text{Var}(X) = 10 - (3)^2 = 1$

Exam tip:

始终使用 $E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ 捷径公式，它避免展开平方偏差，减少计算错误。

4. 离散随机变量的线性变换★★★☆☆⏱ 8 min

考试常考形如 $Y = a X + b$ （ $a, b$ 为常数）的随机变量线性变换的期望和方差，这类计算有简单的法则。

📘 定义

线性变换法则

对任意常数 $a$ 和 $b$ ，以下法则成立：

E[aX + b] = aE[X] + b \\ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)

常数 $b$ 会平移分布，但不会改变它的分散程度，因此不影响方差。

📐 例题

已知 $E [X] = 3$ ， $Var (X) = 1$ ，求 $E [2 X - 5]$ 和 $Var (2 X - 5)$ 。

1
应用期望法则：
$E[2X - 5] = 2E[X] - 5 = 2(3) - 5 = 1$
2
应用方差法则，对系数2平方：
$\text{Var}(2X - 5) = (2)^2 \text{Var}(X) = 4(1) = 4$

5. 常见陷阱

错误做法:

忘记求归一化pmf的缩放常数 $k$

原因:

你假设给定函数已经是合法pmf，没有检查概率总和

正确做法:

在进行任何进一步计算前，始终通过令所有概率之和等于1来计算 $k$

错误做法:

将 $Var (a X + b)$ 算为 $a Var (X)$ 而非 $a^{2} Var (X)$

原因:

混淆了期望法则和方差法则

正确做法:

记住将 $X$ 缩放 $a$ 倍会让分散程度缩放 $a^{2}$ 倍，因此计算方差时始终对系数平方

错误做法:

对离散 $X$ 计算 $P (X < x) = F (x)$

原因:

忘记 $F (x)$ 包含 $P (X = x)$ ，因此严格不等式时会多算

正确做法:

对离散 $X$ ， $P (X < x) = F (x) - P (X = x)$

错误做法:

将离散随机变量当作连续随机变量处理，在区间上积分

原因:

混淆了离散和连续随机变量的概率法则

正确做法:

处理离散分布时，始终对单个离散结果的概率求和

错误做法:

忽略负方差结果继续计算

原因:

你不记得方差不可能为负

正确做法:

负方差永远表示计算错误，返回重新计算 $E [X^{2}]$ 和 $(E [X])^{2}$

6. 速查表

概念	核心公式/法则
离散随机变量	可数个不同值
pmf $p (x) = P (X = x)$	$0 \leq p (x) \leq 1$ ， $\sum p (x) = 1$
cdf $F (x)$	$P (X \leq x) = \sum_{y \leq x} p (y)$
期望 $E [X]$	$\sum x \cdot p (x)$
方差 $Var (X)$	$E [X^{2}] - (E [X])^{2}$ ， $E [X^{2}] = \sum x^{2} p (x)$
线性变换期望	$E [a X + b] = a E [X] + b$
线性变换方差	$Var (a X + b) = a^{2} Var (X)$

7. 常见问题

pmf和cdf的区别是什么？

pmf给出 $X$ 恰好等于某值 $x$ 的概率，而cdf给出 $X$ 小于等于 $x$ 的概率。你可以通过累积求和从pmf推导出cdf。

方差可以是负数吗？

不可以。方差是偏离均值的平方的期望，因此永远非负。得到负方差说明你的计算存在算术错误。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 2
8分期望计算题
2022 · 1
6分概率质量函数求解
2023 · 2
变换后变量的方差

下一步

离散概率分布是你接下来要学习的所有命名离散分布的基础，在课程后续的统计推断中被广泛使用。掌握这里的pmf、cdf、期望和方差，会让你学习二项分布、泊松分布和其他常见离散分布轻松很多。线性变换法则也为你处理多个随机变量的组合做好准备，这是IB高阶考试题目中的常见考点。