# 离散概率分布

> IB 数学：分析与方法 高级水平 · IB AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-discrete-probability-distributions/

本子主题介绍离散随机变量及其核心性质。你将学习如何处理概率质量函数、累积分布、期望、方差和线性变换，为后续所有概率相关内容打下基础。

**先修:** [基础概率法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-basic-probability/); [组合数学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-combinatorics/)

## 学习目标

- 区分离散和连续随机变量
- 构建并解读概率质量函数和累积分布函数
- 计算离散概率分布的期望和方差
- 应用离散随机变量的线性变换法则

## 离散随机变量与概率质量函数

随机变量为随机试验的每个结果分配一个数值。离散随机变量只能取可数个不同值（例如0, 1, 2, ..., 10）。

**离散随机变量** — 只能取可数个不同可能值的随机变量。

*例:* 5张牌中红牌的数量、一批产品中的次品数量

**概率质量函数 (pmf)** — 对所有合法$x$满足两个核心条件的函数：$0 \leq p(x) \leq 1$，且所有可能$x$对应的$p(x)$之和等于1。

*记法:* p(x) = P(X=x)

**例题:** 离散随机变量$X$的pmf为，当$x \in \{1, 2, 3, 4\}$时$P(X=x) = kx$，其余情况为0。求$k$的值。

1. 利用所有概率之和等于1的核心性质：

   $$\sum_{x=1}^4 P(X=x) = 1$$
2. 将pmf代入求和式：

   $$k(1) + k(2) + k(3) + k(4) = 1 \implies 10k = 1$$
3. 求解$k$：

   $$k = \frac{1}{10}$$

> **考试提示:** 始终检查pmf的总和是否等于1，这是考试中快速发现计算错误的方法。

## 累积分布函数

累积分布函数（cdf）给出随机变量$X$小于等于给定值$x$的概率，它对计算区间结果的概率非常有用。

**累积分布函数 (cdf)** — 对离散$X$，$F(x)$是所有小于等于$x$的$X$取值对应的pmf之和。它始终非递减，取值范围为0到1。

*记法:* F(x) = P(X \leq x)

**例题:** 已知$x = 1, 2, 3, 4$时pmf为$P(X=x) = \frac{x}{10}$，求累积分布函数$F(x)$。

1. 当$x < 1$时，没有$X$取值小于等于$x$，因此$F(x) = 0$。
2. 当$1 \leq x < 2$时，仅包含$x=1$：

   $$F(x) = P(X=1) = \frac{1}{10}$$
3. 当$2 \leq x < 3$时，加上$x=2$的概率：

   $$F(x) = \frac{1}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3}{10}$$
4. 当$3 \leq x < 4$时，加上$x=3$的概率：

   $$F(x) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$$
5. 当$x \geq 4$时，加上所有概率：

   $$F(x) = \frac{6}{10} + \frac{4}{10} = 1$$

> **考试提示:** 对离散$X$计算$P(a < X \leq b)$时，可使用捷径$F(b) - F(a)$，比对每个概率求和更节省时间。

## 期望与方差

期望（或总体均值）衡量分布的中心位置，方差衡量分布在中心周围的分散程度。二者是所有离散分布的核心汇总统计量。

**期望** — 期望是$X$在大量重复试验中的长期平均值，计算公式为：$E[X] = \sum_x x \cdot p(x)$。

*记法:* E[X] \text{ or } \mu

**方差** — 方差衡量分散程度，使用以下捷径公式计算最高效：

*记法:* \text{Var}(X) \text{ or } \sigma^2

$$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2, \quad \text{where } E[X^2] = \sum_x x^2 p(x)$$

**例题:** 已知分布$P(X=x) = \frac{x}{10}$，$x \in \{1, 2, 3, 4\}$，计算$E[X]$和$\text{Var}(X)$。

1. 通过求和$x \cdot p(x)$计算期望：

   $$E[X] = (1 \cdot \frac{1}{10}) + (2 \cdot \frac{2}{10}) + (3 \cdot \frac{3}{10}) + (4 \cdot \frac{4}{10}) = \frac{30}{10} = 3$$
2. 为方差公式计算$E[X^2]$：

   $$E[X^2] = (1^2 \cdot \frac{1}{10}) + (2^2 \cdot \frac{2}{10}) + (3^2 \cdot \frac{3}{10}) + (4^2 \cdot \frac{4}{10}) = \frac{100}{10} = 10$$
3. 应用方差捷径公式：

   $$\text{Var}(X) = 10 - (3)^2 = 1$$

> **考试提示:** 始终使用$E[X^2] - (E[X])^2$捷径公式，它避免展开平方偏差，减少计算错误。

## 离散随机变量的线性变换

考试常考形如$Y = aX + b$（$a,b$为常数）的随机变量线性变换的期望和方差，这类计算有简单的法则。

**线性变换法则** — 对任意常数$a$和$b$，以下法则成立：

$$E[aX + b] = aE[X] + b \\ \text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$$

常数$b$会平移分布，但不会改变它的分散程度，因此不影响方差。

> **warning**
>
> 计算方差时必须对系数$a$平方，这是IB考试中最常考也最容易出错的规则之一。

**例题:** 已知$E[X] = 3$，$\text{Var}(X) = 1$，求$E[2X - 5]$和$\text{Var}(2X - 5)$。

1. 应用期望法则：

   $$E[2X - 5] = 2E[X] - 5 = 2(3) - 5 = 1$$
2. 应用方差法则，对系数2平方：

   $$\text{Var}(2X - 5) = (2)^2 \text{Var}(X) = 4(1) = 4$$

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记求归一化pmf的缩放常数$k$
  - 原因: 你假设给定函数已经是合法pmf，没有检查概率总和
  - 正确做法: 在进行任何进一步计算前，始终通过令所有概率之和等于1来计算$k$
- **错误做法:** 将$\text{Var}(aX + b)$算为$a\text{Var}(X)$而非$a^2\text{Var}(X)$
  - 原因: 混淆了期望法则和方差法则
  - 正确做法: 记住将$X$缩放$a$倍会让分散程度缩放$a^2$倍，因此计算方差时始终对系数平方
- **错误做法:** 对离散$X$计算$P(X < x) = F(x)$
  - 原因: 忘记$F(x)$包含$P(X=x)$，因此严格不等式时会多算
  - 正确做法: 对离散$X$，$P(X < x) = F(x) - P(X=x)$
- **错误做法:** 将离散随机变量当作连续随机变量处理，在区间上积分
  - 原因: 混淆了离散和连续随机变量的概率法则
  - 正确做法: 处理离散分布时，始终对单个离散结果的概率求和
- **错误做法:** 忽略负方差结果继续计算
  - 原因: 你不记得方差不可能为负
  - 正确做法: 负方差永远表示计算错误，返回重新计算$E[X^2]$和$(E[X])^2$

## 速查表

| 概念 | 核心公式/法则 |
| --- | --- |
| 离散随机变量 | 可数个不同值 |
| pmf $p(x) = P(X=x)$ | $0 \leq p(x) \leq 1$，$\sum p(x) = 1$ |
| cdf $F(x)$ | $P(X \leq x) = \sum_{y \leq x} p(y)$ |
| 期望 $E[X]$ | $\sum x \cdot p(x)$ |
| 方差 $\text{Var}(X)$ | $E[X^2] - (E[X])^2$，$E[X^2] = \sum x^2 p(x)$ |
| 线性变换期望 | $E[aX + b] = aE[X] + b$ |
| 线性变换方差 | $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ |

## 下一步

离散概率分布是你接下来要学习的所有命名离散分布的基础，在课程后续的统计推断中被广泛使用。掌握这里的pmf、cdf、期望和方差，会让你学习二项分布和其他常见离散分布轻松很多。线性变换法则也为你处理多个随机变量的组合做好准备，这是IB高阶考试题目中的常见考点。

- [二项分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-binomial-distribution/)
- [连续概率分布与PDF](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-continuous-probability-distributions-and-pdfs/)
- [正态分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-normal-distribution/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-discrete-probability-distributions/