# 数据呈现与汇总统计

> IB 数学 AA HL · IB AA HL 2021+
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-data-presentation-and-summary-statistics/

本子主题涵盖IB AA HL中单变量数据的整理、展示和汇总。你将学习如何创建合适的图形展示、计算数值统计量，来描述数据分布的中心、离散程度和形状。

**先修:** [对分类数据和定量数据类型有基本理解](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-introduction-to-statistics/)

## 学习目标

- 为不同数据类型构建合适的图形展示
- 计算并解释单变量数据的关键汇总统计量
- 识别异常值并评估其对汇总统计量的影响
- 使用汇总统计量和图形展示比较分布

## 不同数据类型的图形展示

**单变量数据** — 从每个抽样单元记录单个特征的数据，用于描述性分析

*例:* 50名12年级学生的身高是单变量数据；身高+体重是双变量数据

不同数据类型需要不同的展示方式来清晰呈现规律：分类数据使用条形图或饼图，离散定量数据使用条形图，连续数据使用直方图、频率多边形或累积频率曲线。

> **tip**
>
> 考试画图时一定要给坐标轴标注单位和名称。漏标会丢掉本可以轻松拿到的分数。

**例题:** 一名教师记录了30人班级中每个学生的缺勤次数：| 缺勤次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | | 频率 | 12 | 10 | 5 | 2 | 1 | 哪种展示方式最合适，应该如何构建？

1. 1. 识别数据类型：缺勤次数是离散定量数据。
2. 2. 匹配展示方式：离散数据使用分离条形图（不能用直方图，直方图意味着变量连续）。
3. 3. 坐标轴设置：X轴标注为“缺勤次数”，刻度在0–4之间，Y轴标注为“频率”，范围0–12。
4. 4. 绘制分离条形，条形高度等于每个缺勤次数对应的频率。

*计算器:* allowed

## 中心和离散程度的度量

**四分位距（IQR）** — 排序后数据中间50%的离散程度，是对异常值不敏感的离散度量

*记法:* IQR = Q_3 - Q_1

*例:* 对于数据集[2, 3, 5, 7, 11], Q1=3, Q3=7, IQR = 4

中心度量描述分布的典型值，离散度量描述数据的变异程度。常用的组合是均值和标准差，或者中位数和四分位距。

- 均值 = 所有数据的平均值，受极端异常值影响
- 中位数 = 排序后数据的中间值，不受异常值影响
- 标准差 = 各点到均值的平均距离，单位与原始数据相同

**例题:** 对于完整总体[12, 15, 18, 22, 25]，求其均值、中位数和总体标准差。

1. 计算均值：
2. $$\bar{x} = \frac{12 + 15 + 18 + 22 + 25}{5} = 18.4$$
3. 求中位数：数据已排序，第3个值就是中位数：中位数 = 18
4. 计算各点与均值偏差的平方和：
5. $$(12-18.4)^2 + ... + (25-18.4)^2 = 109.2$$
6. 总体标准差是平均偏差平方的平方根：
7. $$\sigma = \sqrt{\frac{109.2}{5}} \approx 4.67$$

*计算器:* allowed

## 异常值与箱线图

**异常值（1.5 × IQR法则）** — 若一个观测值小于$Q_1 - 1.5 \times IQR$或大于$Q_3 + 1.5 \times IQR$，则它是异常值

*例:* Q1=10, Q3=20, IQR=10: 任何小于-5或大于35的值都是异常值

箱线图（盒须图）展示五数概括（最小值、Q1、中位数、Q3、最大值），并明确标注异常值，非常适合并排比较两个或多个分布。

**例题:** 使用1.5×IQR法则识别[4, 6, 7, 8, 10, 12, 35]中的异常值。

1. 数据已排序，n=7。中位数 = 第4项 = 8。排除中位数后，分为下半部分[4,6,7]和上半部分[10,12,35]。
2. Q1 = 下半部分的中位数 = 6，Q3 = 上半部分的中位数 = 12
3. 计算异常值边界：
4. $$IQR = 12 - 6 = 6 \\ Lower = 6 - 1.5(6) = -3 \\ Upper = 12 + 1.5(6) = 21$$
5. 35大于21，因此35被分类为异常值。

*计算器:* allowed

## 累积频率图

累积频率图将累积频率（不超过给定值的总观测数）对分组区间的上界作图，用于从分组连续数据中估计中位数、四分位数和百分位数。

**例题:** 对100株植物的高度，累积频率为：10cm处10，20cm处40，30cm处75，40cm处100。估计中位数和四分位距。

1. 中位数对应累积频率为$\frac{100}{2} = 50$处的高度。
2. 在(20cm, 40)和(30cm, 75)之间插值：$20 + \frac{50-40}{75-40} \times 10 \approx 22.9$ cm
3. Q1对应累积频率25，Q3对应累积频率75：
4. Q1 $\approx 10 + \frac{25-10}{40-10} \times 10 = 15$ cm，题目给出Q3 = 30 cm
5. 计算四分位距：
6. $$IQR = 30 - 15 = 15 \text{ cm}$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对离散分类数据使用直方图
  - 原因: 直方图相连的条形意味着变量是连续的，这会产生误导并导致丢分
  - 正确做法: 对离散或分类数据使用分离条形图
- **错误做法:** 从图形计算器中选择了错误的标准差类型（样本 vs 总体）
  - 原因: IB要求你根据语境选择正确的值，选错会得到错误答案
  - 正确做法: 对完整总体数据使用$\sigma$，对来自更大总体的样本数据使用$s$
- **错误做法:** 对存在异常值的偏态分布使用均值而非中位数
  - 原因: 均值会被拉向偏态分布的长尾和极端异常值，无法反映典型值
  - 正确做法: 对于偏态分布或存在异常值的数据集，使用中位数作为中心度量
- **错误做法:** 当n为奇数时，计算Q1/Q3包含了整体中位数
  - 原因: 这会导致四分位数值错误，进而错误分类异常值
  - 正确做法: 当n为奇数时，计算Q1/Q3前，需将整体中位数排除在下半部分和上半部分之外

## 速查表

| 度量类型 | 名称 | 核心规则 | 对异常值稳健？ |
| --- | --- | --- | --- |
| 中心 | 均值 | $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$ | 否 |
| 中心 | 中位数 | 排序数据的中间值 | 是 |
| 离散程度 | 极差 | Max - Min | 否 |
| 离散程度 | 四分位距 | Q3 - Q1 | 是 |
| 离散程度 | 总体标准差 | $\sigma = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}}$ | 否 |
| 离散程度 | 样本标准差 | $s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$ | 否 |
| 异常值法则 | 1.5×IQR | 若值 < Q1 - 1.5IQR 或 > Q3 + 1.5IQR，则为异常值 | 不适用 |

## 下一步

数据呈现与汇总统计是IB AA HL所有统计工作的基础。这些描述性工具帮助你探索和总结原始数据中的规律，你在所有后续统计学主题中都会用到汇总统计量。在学习概率分布时你会用到均值和标准差的性质，用箱线图比较组别，在回归分析中解释汇总统计量。请注意：假设检验等正式的推断统计方法属于Math AI，而非AA，不属于AA HL的范围。

- [正态分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-normal-distribution/)
- [概率基本概念与法则](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-basic-probability-concepts-and-rules/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-data-presentation-and-summary-statistics/