连续概率分布与PDF

IB 数学 AA HL· 4.8· 15 分钟阅读

1. 离散型与连续型随机变量★★☆☆☆⏱ 5 min

离散型随机变量取可数的离散值（例如10次抛硬币中正面朝上的次数），而连续型随机变量可在一个或多个区间内取任意值（例如随机选取的成年人身高，公交车的等候时间）。离散分布的概率分配给单个结果，但连续分布并非如此。

📘 定义

连续型随机变量

如果随机变量 $X$ 的所有可能取值构成一个不可数区间，且 $X$ 等于任意单个值的概率为0，则 $X$ 是连续型随机变量。

例:

苹果的质量，无论测量精度多高，都是连续型随机变量。

📐 例题

解释为什么如果 $X$ 是一个人的身高（单位：米）， $P (X = 2.5) = 0$ 。

1
随着区间宽度缩小， $X$ 落在该区间内的概率会减小。对于单个点，区间宽度趋近于0。
2
$\lim_{\delta \to 0} P(x - \delta/2 < X < x + \delta/2) = 0$
3
因此， $X$ 恰好等于2.5的概率为0。

2. 有效概率密度函数的性质★★☆☆☆⏱ 5 min

我们不将概率分配给单个点，而是使用一种称为概率密度函数（PDF）的函数来求连续型随机变量落在某一区间内的概率。概率等于该区间上PDF曲线下的面积。

📘 定义

概率密度函数（PDF）

f(x)

对于定义在 $(- \infty, \infty)$ 上的连续型随机变量 $X$ ，若 $f (x)$ 满足两个核心条件，则它是 $X$ 的PDF：(1) 对所有 $x$ 都有 $f (x) \geq 0$ ，以及(2) $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$ 。任意概率 $P (a < X < b)$ 都由 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 给出。

📐 例题

验证 $f (x) = {2 x 0 0 \leq x \leq 1 otherwise$ 是否为有效PDF。

1
首先检查非负性条件。当 $0 \leq x \leq 1$ 时， $2 x \geq 0$ ，在其他区域 $f (x) = 0$ 。因此对所有 $x$ 都有 $f (x) \geq 0$ ，第一个条件满足。
2
接下来，对整个定义域积分 $f (x)$ ，检查总面积是否为1：
3
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_0^1 2x dx$
4
$= \left[ x^2 \right]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1$
5
两个条件都满足，因此这是一个有效的PDF。

3. 根据PDF计算概率★★★☆☆⏱ 6 min

确认PDF有效后，你可以通过在两个边界之间积分PDF来计算 $X$ 落在两个值之间的概率。这直接对应于求目标区间上PDF曲线下的面积。

📐 例题

已知有效PDF为 $f (x) = {2 x 0 0 \leq x \leq 1 otherwise$ ，求 $P (0.2 < X < 0.6)$ 。

1
我们在0.2到0.6之间积分PDF，因为该区间外 $f (x) = 0$ ：
2
$P(0.2 < X < 0.6) = \int_{0.2}^{0.6} 2x dx$
3
$= \left[ x^2 \right]_{0.2}^{0.6} = (0.6)^2 - (0.2)^2$
4
$= 0.36 - 0.04 = 0.32$
5
因此所求概率为0.32。

✓ 快速检测

检查你对PDF核心性质的理解

对于上述示例中的PDF， $P (X = 0.5)$ 是多少？
- 0
- 0.5
- 1
- 无法确定
显示答案
0 —
对于任意连续分布，无论该点的PDF值是多少， $X$ 取单个精确值的概率始终为0。

4. 连续分布的众数★★★☆☆⏱ 4 min

对于离散分布，众数是最可能出现的单个值。对于连续分布，众数是使PDF $f (x)$ 达到最大值的 $x$ 值。我们使用微积分来求这个最大值。

📘 定义

连续分布的众数

众数是PDF $f (x)$ 取得全局最大值对应的 $x$ 值。一个分布可以是单峰（一个众数）、双峰（两个众数），或者没有唯一众数。

📐 例题

求 $f (x) = {12 x^{2} (1 - x) 0 0 \leq x \leq 1 otherwise$ 的众数。

1
展开并对 $f (x)$ 求导以找到临界点：
2
$f(x) = 12x^2 - 12x^3$
3
$f'(x) = 24x - 36x^2 = 12x(2 - 3x)$
4
令导数等于0，求出临界点：
5
$12x(2 - 3x) = 0 \implies x = 0 \text{ or } x = \frac{2}{3}$
6
使用二阶导数测试确认这是一个最大值：
7
$f''(x) = 24 - 72x. \quad At \ x = \frac{2}{3}, f''(\frac{2}{3}) = 24 - 48 = -24 < 0$
8
端点 $x = 0$ 和 $x = 1$ 处 $f (x) = 0$ ，这是最小值。因此全局最大值在 $x = \frac{2}{3}$ 处，所以众数是 $\frac{2}{3}$ 。

5. 常见陷阱

错误做法:

声称 $P (X = a) = f (a)$

原因:

对于连续分布， $f (a)$ 是 $a$ 点的密度，而非概率。概率始终是区间上的面积。

正确做法:

对于任意连续型随机变量，无论 $f (a)$ 是多少，始终都有 $P (X = a) = 0$ 。

错误做法:

使用 $f (b) - f (a)$ 而非积分来求 $P (a < X < b)$

原因:

许多学生将PDF的性质与累积分布函数的微积分基本定理混淆，错误地使用PDF值的差。

正确做法:

始终将 $P (a < X < b)$ 计算为 $f (x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的定积分。

错误做法:

验证PDF时仅检查总积分等于1，忽略非负性

原因:

即使总积分等于1，存在负值区域的函数也不可能是有效PDF。考官经常考察这一点。

正确做法:

始终明确检查两个条件：对所有 $x$ 都有 $f (x) \geq 0$ ，且 $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$ 。

错误做法:

求众数时仅停在第一个内部临界点，忽略端点

原因:

$f (x)$ 的最大值可以出现在定义域的端点，而不仅仅是区间内部的转折点。

正确做法:

始终在所有临界点和端点计算 $f (x)$ 的值，确认众数对应的全局最大值。

6. 速查表

PDF性质	规则
非负性	$f (x) \geq 0$ 对所有 $x$ 成立
曲线下总面积	$\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1$
区间概率	$P (a < X < b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$
单点概率	$P (X = a) = 0$
众数	使 $f (x)$ 最大化的 $x$ 值

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

PDF是你在IB AA HL中会遇到的所有连续概率主题的基础，掌握这些核心规则对考试成功至关重要。接下来，你将把这些知识扩展到累积分布函数（CDF），它可以让你计算累积概率、百分位数和分位数。在此之后，你将学习常见的命名连续分布，包括均匀分布、指数分布和正态分布，所有这些都是IB考试的高频考点。你还将学习计算连续分布的期望和方差，建立在你在此练习的PDF积分技能之上。