# 连续概率分布与PDF

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> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-continuous-probability-distributions-and-pdfs/

本子主题介绍连续概率分布，其中随机变量在区间上取值，而非离散点。你将学习如何定义、验证和使用概率密度函数（PDF）计算概率。

**先修:** [离散概率分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-discrete-probability/); [定积分](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-definite-integration/)

## 学习目标

- 区分离散型和连续型随机变量
- 陈述并应用有效概率密度函数（PDF）的核心性质
- 根据PDF计算连续型随机变量的区间概率
- 求连续概率分布的众数

## 离散型与连续型随机变量

离散型随机变量取可数的离散值（例如10次抛硬币中正面朝上的次数），而连续型随机变量可在一个或多个区间内取任意值（例如随机选取的成年人身高，公交车的等候时间）。离散分布的概率分配给单个结果，但连续分布并非如此。

**连续型随机变量** — 如果随机变量$X$的所有可能取值构成一个不可数区间，且$X$等于任意单个值的概率为0，则$X$是连续型随机变量。

*例:* 苹果的质量，无论测量精度多高，都是连续型随机变量。

> **info**
>
> 因为对任意单个值$a$都有$P(X = a) = 0$，所以对所有连续分布都有$P(a < X < b) = P(a \leq X \leq b)$。这在计算区间概率时消除了歧义。

**例题:** 解释为什么如果$X$是一个人的身高（单位：米），$P(X = 2.5) = 0$。

1. 随着区间宽度缩小，$X$落在该区间内的概率会减小。对于单个点，区间宽度趋近于0。
2. $$\lim_{\delta \to 0} P(x - \delta/2 < X < x + \delta/2) = 0$$
3. 因此，$X$恰好等于2.5的概率为0。

## 有效概率密度函数的性质

我们不将概率分配给单个点，而是使用一种称为概率密度函数（PDF）的函数来求连续型随机变量落在某一区间内的概率。概率等于该区间上PDF曲线下的面积。

**概率密度函数（PDF）** — 对于定义在$(-\infty, \infty)$上的连续型随机变量$X$，若$f(x)$满足两个核心条件，则它是$X$的PDF：(1) 对所有$x$都有$f(x) \geq 0$，以及(2) $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。任意概率$P(a < X < b)$都由$\int_a^b f(x) dx$给出。

*记法:* f(x)

**例题:** 验证$f(x) = \begin{cases} 2x & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$是否为有效PDF。

1. 首先检查非负性条件。当$0 \leq x \leq 1$时，$2x \geq 0$，在其他区域$f(x) = 0$。因此对所有$x$都有$f(x) \geq 0$，第一个条件满足。
2. 接下来，对整个定义域积分$f(x)$，检查总面积是否为1：
3. $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = \int_0^1 2x dx$$
4. $$= \left[ x^2 \right]_0^1 = 1^2 - 0^2 = 1$$
5. 两个条件都满足，因此这是一个有效的PDF。

## 根据PDF计算概率

确认PDF有效后，你可以通过在两个边界之间积分PDF来计算$X$落在两个值之间的概率。这直接对应于求目标区间上PDF曲线下的面积。

**例题:** 已知有效PDF为$f(x) = \begin{cases} 2x & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$，求$P(0.2 < X < 0.6)$。

1. 我们在0.2到0.6之间积分PDF，因为该区间外$f(x) = 0$：
2. $$P(0.2 < X < 0.6) = \int_{0.2}^{0.6} 2x dx$$
3. $$= \left[ x^2 \right]_{0.2}^{0.6} = (0.6)^2 - (0.2)^2$$
4. $$= 0.36 - 0.04 = 0.32$$
5. 因此所求概率为0.32。

**概念自测**

检查你对PDF核心性质的理解

1. 对于上述示例中的PDF，$P(X = 0.5)$是多少？

   - 0
   - 0.5
   - 1
   - 无法确定

   *解析:* 对于任意连续分布，无论该点的PDF值是多少，$X$取单个精确值的概率始终为0。

## 连续分布的众数

对于离散分布，众数是最可能出现的单个值。对于连续分布，众数是使PDF $f(x)$达到最大值的$x$值。我们使用微积分来求这个最大值。

**连续分布的众数** — 众数是PDF $f(x)$取得全局最大值对应的$x$值。一个分布可以是单峰（一个众数）、双峰（两个众数），或者没有唯一众数。

**例题:** 求$f(x) = \begin{cases} 12x^2(1-x) & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$的众数。

1. 展开并对$f(x)$求导以找到临界点：
2. $$f(x) = 12x^2 - 12x^3$$
3. $$f'(x) = 24x - 36x^2 = 12x(2 - 3x)$$
4. 令导数等于0，求出临界点：
5. $$12x(2 - 3x) = 0 \implies x = 0 \text{ or } x = \frac{2}{3}$$
6. 使用二阶导数测试确认这是一个最大值：
7. $$f''(x) = 24 - 72x. \quad At \ x = \frac{2}{3}, f''(\frac{2}{3}) = 24 - 48 = -24 < 0$$
8. 端点$x=0$和$x=1$处$f(x)=0$，这是最小值。因此全局最大值在$x = \frac{2}{3}$处，所以众数是$\frac{2}{3}$。

## 常见错误

- **错误做法:** 声称$P(X = a) = f(a)$
  - 原因: 对于连续分布，$f(a)$是$a$点的密度，而非概率。概率始终是区间上的面积。
  - 正确做法: 对于任意连续型随机变量，无论$f(a)$是多少，始终都有$P(X = a) = 0$。
- **错误做法:** 使用$f(b) - f(a)$而非积分来求$P(a < X < b)$
  - 原因: 许多学生将PDF的性质与累积分布函数的微积分基本定理混淆，错误地使用PDF值的差。
  - 正确做法: 始终将$P(a < X < b)$计算为$f(x)$从$a$到$b$的定积分。
- **错误做法:** 验证PDF时仅检查总积分等于1，忽略非负性
  - 原因: 即使总积分等于1，存在负值区域的函数也不可能是有效PDF。考官经常考察这一点。
  - 正确做法: 始终明确检查两个条件：对所有$x$都有$f(x) \geq 0$，且$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$。
- **错误做法:** 求众数时仅停在第一个内部临界点，忽略端点
  - 原因: $f(x)$的最大值可以出现在定义域的端点，而不仅仅是区间内部的转折点。
  - 正确做法: 始终在所有临界点和端点计算$f(x)$的值，确认众数对应的全局最大值。

## 速查表

| PDF性质 | 规则 |
| --- | --- |
| 非负性 | $f(x) \geq 0$ 对所有$x$成立 |
| 曲线下总面积 | $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ |
| 区间概率 | $P(a < X < b) = \int_a^b f(x) dx$ |
| 单点概率 | $P(X = a) = 0$ |
| 众数 | 使$f(x)$最大化的$x$值 |

## 下一步

PDF是你在IB AA HL中会遇到的所有连续概率主题的基础，掌握这些核心规则对考试成功至关重要。接下来，你将把这些知识扩展到累积分布函数（CDF），它可以让你计算累积概率、百分位数和分位数。在此之后，你将学习常见的命名连续分布，包括均匀分布、指数分布和正态分布，所有这些都是IB考试的高频考点。你还将学习计算连续分布的期望和方差，建立在你在此练习的PDF积分技能之上。

- [正态分布](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-normal-distribution/)
- [二元数据：相关性与回归](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-bivariate-data-correlation-and-regression/)

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