# 二元数据：相关性与回归

> IB 数学 AA HL · 统计学与概率
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-bivariate-data-correlation-and-regression/

本子主题探讨两个定量变量之间的线性关系。你将学习如何用相关性衡量关联强度，用回归拟合线性预测模型，该内容在IB AA HL的两张试卷中都经常考察。

**先修:** [单变量数据的描述性统计学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-univariate-descriptive-statistics/)

## 学习目标

- 区分相关性与因果关系
- 计算并解释皮尔逊积矩相关系数
- 求出并解释最小二乘回归线方程
- 区分内插法和外插法，并评论预测的可靠性
- 识别离群值对相关性和回归结果的影响

## 相关性与散点图

当我们为同一个体或案例收集两个测量值时，我们将成对值绘制在散点图上，以直观观察变量之间的关系。

**二元数据** — 由在同一抽样单元上收集的两个不同变量的成对观测值组成的数据集。

*例:* 对50名高中生测量的身高和体重

正相关意味着当一个变量增加时，另一个变量通常也会增加。负相关意味着当一个变量增加时，另一个变量通常会减少。无相关意味着不存在可观测的线性趋势。

> **warning**
>
> 相关性不代表因果关系。强相关性可能由巧合、第三个混杂变量或反向因果关系导致。因果关系只能通过对照实验确认，无法仅通过观测数据确认。

**例题:** 一位研究人员发现，每月冰淇淋销量和溺水死亡人数之间存在强正相关。解释为什么这并不意味着冰淇淋销量会导致溺水。

1. 正相关告诉我们，当冰淇淋销量更高时，溺水死亡人数也会遵循线性趋势增加。
2. 这种相关性可以由混杂变量温度解释：更高的温度导致更多人购买冰淇淋，更多人游泳，进而导致更多溺水事件。
3. 冰淇淋销量和溺水之间不存在直接因果关系，这种相关性是虚假的。

## 皮尔逊积矩相关系数

皮尔逊$r$是衡量两个定量变量之间线性关系强度和方向的数值指标，其计算公式为：

$$r = \frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x-\bar{x})^2 \sum (y-\bar{y})^2}}$$

$r$的值始终介于$-1$和$1$之间。接近$1$的值代表强正线性相关，接近$-1$代表强负线性相关，接近$0$代表弱或无线性相关。需要注意的是，$r$仅衡量线性关系：强非线性关系的$r$也可能接近$0$。

**例题:** 对于4组数据对$(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)$，计算皮尔逊$r$并解释结果。

1. 计算$x$和$y$的均值：
2. $$\bar{x} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2.5, \quad \bar{y} = \frac{2+3+5+6}{4} = 4$$
3. 计算所需的乘积和与偏差平方和：$\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) = 7$, $\sum (x-\bar{x})^2 = 5$, $\sum (y-\bar{y})^2 = 10$
4. 代入$r$的公式：
5. $$r = \frac{7}{\sqrt{5 \times 10}} = \frac{7}{\sqrt{50}} \approx 0.99$$
6. 解释：$x$和$y$之间存在极强的正线性相关。

**概念自测**

1. 皮尔逊$r = 0$意味着两个变量之间不存在任何关系。判断对错。

   - 对
   - 错

   *解析:* $r = 0$仅意味着不存在线性关系。即使$r=0$，仍然可能存在强非线性关系（例如$y=x^2$）。

## 最小二乘回归线

当我们有解释变量$x$和响应变量$y$时，我们可以拟合一条直线来建模两者的关系，用于预测给定$x$对应的$y$值。

**y对x的最小二乘回归线** — 最小化观测$y$值和预测$y$值之间垂直偏差平方和的直线。这是从$x$预测$y$的标准最佳拟合线。

*记法:* $y = a + bx$

斜率$b$是$x$每增加1单位时，$y$的预测变化量。截距$a$是$x=0$时$y$的预测值。考试中务必结合问题背景解释这些值。

**例题:** 对于数据$(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)$，求y对x的最小二乘回归线方程，并解释斜率。

1. 我们已经知道$\bar{x}=2.5$, $\bar{y}=4$, $\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})=7$, $\sum (x-\bar{x})^2=5$
2. 计算斜率$b$：
3. $$b = \frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sum (x-\bar{x})^2} = \frac{7}{5} = 1.4$$
4. 使用公式$a = \bar{y} - b\bar{x}$计算截距$a$：
5. $$a = 4 - (1.4 \times 2.5) = 0.5$$
6. 方程：$y = 1.4x + 0.5$。x每增加1单位，y的预测值平均增加1.4单位。

> **tip**
>
> 务必确认你要预测的变量。y对x的回归线是从x预测y。如果你需要从y预测x，你需要使用不同的x对y回归线。

## 内插法与外插法

当使用回归线进行预测时，原始数据的范围对于评估结果的可靠性至关重要。

**内插法与外插法** — 内插法对原始$x$数据范围内的值进行预测，通常是可靠的。外插法对原始$x$数据范围外的值进行预测，通常不可靠，因为我们不能假设线性趋势会延续到观测值范围之外。

**例题:** 针对2到10岁儿童，建立了儿童身高(y，单位：cm)对年龄(x，单位：年)的回归线为$y = 6x + 70$。预测一名15岁儿童的身高，并评论该预测的可靠性。

1. 代入$x=15$到方程：$y = 6(15) + 70 = 160$ cm。
2. 原始数据覆盖年龄范围为2到10岁，因此15岁在范围外，该预测属于外插法。
3. 该预测不可靠：10岁后生长速度放缓，因此在低龄儿童中观测到的线性趋势无法延伸到青少年阶段。

## 常见错误

- **错误做法:** 声称强相关性证明因果关系
  - 原因: 相关性仅衡量关联，不代表因果关系，因果关系需要实验证据
  - 正确做法: 除非题目明确说明，永远不要声称存在因果关系，仅描述关联即可
- **错误做法:** 认为$r=0$意味着变量之间不存在任何关系
  - 原因: 皮尔逊$r$仅衡量线性相关性，仍然可能存在强非线性关系
  - 正确做法: 务必明确$r=0$意味着变量之间不存在线性关系
- **错误做法:** 交换$x$和$y$，用y对x的回归线预测x
  - 原因: 最小二乘线最小化响应变量的误差，交换变量会得到不同的线
  - 正确做法: 拟合回归线前，务必确认你需要预测的变量
- **错误做法:** 认为外插预测和内插预测同样可靠
  - 原因: 线性趋势在观测数据范围外可能不成立
  - 正确做法: 务必识别外插，并说明预测不可靠
- **错误做法:** 计算相关性和回归时忽略离群值
  - 原因: 离群值会大幅改变$r$的值和回归线的斜率
  - 正确做法: 在散点图上识别离群值，并评估它们对结果的影响

## 速查表

| 概念 | 核心用途 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 皮尔逊$r$ | 衡量线性相关的强度和方向 | $-1 \leq r \leq 1$, $r \approx 1$ = 强正相关, $r \approx -1$ = 强负相关, $r \approx 0$ = 无线性相关 |
| y对x最小二乘回归 | 从已知x预测y | 最小化到直线的垂直偏差平方和 |
| 相关性 | 描述两个变量之间的关联 | 相关性 ≠ 因果关系 |
| 内插法 | 在原始x范围内预测 | 通常可靠 |
| 外插法 | 在原始x范围外预测 | 通常不可靠 |

## 下一步

相关性和回归是核心统计技能，在IB AA HL考试中经常考察，通常出现在结合描述性统计、概率等其他主题的拓展多问题中。请注意：假设检验和卡方检验——有时会与相关性联系在一起——属于Math AI，而非AA，不属于AA HL的考查范围。在IB之外，这些思想会延伸到更高级的统计建模，如回归系数的显著性检验、残差分析和非线性回归。掌握这里的核心概念可以帮助你避免常见的考试陷阱，在简答题和长答题中都获得满分。接下来，你可以学习相关的统计主题，巩固你的理解。

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