学习指南

二项分布

IB 数学分析与方法高等水平· Topic 4: Statistics and Probability, 4.11· 12 分钟阅读

1. 定义二项场景★★☆☆☆⏱ 3 min

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📘 定义

二项场景

满足全部四个条件的概率场景：固定试验次数n、试验相互独立、成功概率p恒定、每次试验恰好有两个结果。

✓ 快速检测

判断以下哪些场景属于有效的二项场景

  1. 从标准牌组中无放回抽取5张牌，统计抽到的A牌数量

    显示答案
    No —

    试验不独立，无放回抽样会导致每次试验的成功概率发生变化。

  2. 抛掷一枚公平的6面骰子10次，统计掷出6点的次数

    显示答案
    Yes —

    满足全部BINS条件：二元结果、独立抛掷、n=10、p=1/6恒定。

2. 二项概率质量函数★★★☆☆⏱ 4 min

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P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k,k=0,1,2,...,nP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0,1,2,...,n
📐 例题

抛掷一枚公平硬币7次，计算恰好得到4次正面的概率。

  1. 1

    定义分布：X为7次抛掷中正面的次数，因此X ~ B(7, 0.5)

  2. 2

    将n=7、k=4、p=0.5代入概率质量函数

  3. 3
    P(X=4)=(74)(0.5)4(0.5)3P(X=4) = \binom{7}{4} (0.5)^4 (0.5)^{3}
  4. 4
    =35×(0.5)7=35/128≈0.2734= 35 \times (0.5)^7 = 35 / 128 ≈ 0.2734

3. 二项分布的期望与方差★★★☆☆⏱ 3 min

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E(X)=np,Var(X)=np(1−p)\mathbb{E}(X) = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)
🔬 推导
目标:

推导二项分布的E(X)

起点:

X可以表示为n个独立伯努利随机变量X_i的和，每个X_i的期望E(X_i)=p

  1. 1

    根据期望的线性性可得E(X) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)

  2. 2

    展开为各独立期望的和：E(X) = sum_{i=1}^n E(X_i)

  3. 3
    =∑i=1np=np= \sum_{i=1}^n p = np
结果:

二项分布的期望就是试验次数与成功概率的乘积。

📐 例题

某工厂生产的每件元件为次品的概率为0.02。对于一批500件元件，求次品数量的期望值和方差。

  1. 1

    定义X ~ B(500, 0.02)

  2. 2
    E(X)=500×0.02=10E(X) = 500 \times 0.02 = 10
  3. 3
    Var(X)=500×0.02×0.98=9.8Var(X) = 500 \times 0.02 \times 0.98 = 9.8

4. 累积二项概率计算★★★★☆⏱ 4 min

✓ 计算器

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📐 例题

已知X ~ B(12, 0.6)，求P(X ≥ 9)。

  1. 1

    改写不等式以匹配标准CDF输入：P(X ≥9) = 1 - P(X ≤8)

  2. 2

    使用图形计算器的binomcdf(n=12, p=0.6, k=8)得到P(X ≤8) ≈ 0.7747

  3. 3
    P(X≥9)=1−0.7747≈0.225P(X ≥9) = 1 - 0.7747 ≈ 0.225

5. 常见陷阱

错误做法:

对无放回抽样场景使用二项分布

原因:

试验不独立，违反了BINS全部条件

正确做法:

无放回抽样场景应改用超几何分布

错误做法:

将P(X ≥k)计算为1 - P(X ≤k)

原因:

该计算排除了P(X=k)项，导致差一错误

正确做法:

将P(X ≥k)改写为1 - P(X ≤ k-1)以包含所有有效项

错误做法:

在概率质量函数中遗漏组合数，写出P(X=k) = p^k (1-p)^{n-k}

原因:

该式仅计算了k次成功的某一个特定有序序列的概率，没有统计所有可能的序列

正确做法:

乘以二项式系数n选k，以统计所有成功与失败的排列情况

错误做法:

使用公式Var(X) = np计算二项分布的方差

原因:

该式给出的是期望值而非方差，丢失了(1-p)因子

正确做法:

使用完整的方差公式Var(X) = np(1-p)

错误做法:

在多步问题中过早对中间概率值取整

原因:

这会引入累积舍入误差，导致最终答案超出IB评分允许的误差范围

正确做法:

在计算到最后一步之前，将完整的未取整值保留在图形计算器内存中

6. 速查表

物理量

X ~ B(n,p)的公式

恰好k次成功的概率质量函数

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

到k为止的累积概率

P(X ≤k) = \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}

期望值

E(X) = np

方差

Var(X) = np(1-p)

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

  • 2023 · Paper 2

    累积二项概率计算

  • 2022 · Paper 3

    二项假设检验设置

  • 2021 · Paper 1

    根据二项约束条件求解n值

下一步

掌握二项分布是本单元后续主题的关键基础，包括总体比例的假设检验、二项分布的正态近似，以及用于计算固定区间内事件发生次数的泊松分布。你将经常结合二项概率规则、组合数学与条件概率来解答占统计学总分15-20%的Paper 3拓展题。请确保在考试场景中选择该模型之前，你可以快速验证当前场景是否满足二项条件。