# 二项分布

> IB 数学分析与方法高等水平 · IB Math AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-binomial-distribution/

本模块涵盖二项场景的4个定义条件、二项概率质量函数、推导得到的期望与方差公式，以及标准IB考试题的解题流程。

**先修:** [离散随机变量基础](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-discrete-random-variables/); [组合数（n选k）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-permutations-combinations/)

## 学习目标

- 识别有效二项场景所需的四个条件
- 应用二项概率质量函数计算精确概率与累积概率
- 推导并使用二项分布期望与方差的闭式公式
- 在图形计算器支持下求解涉及二项分布的IB AA HL情境化问题

## 定义二项场景

二项分布描述固定次数的重复独立伯努利试验中成功的总次数，每次试验恰好有两个互斥的结果，分别标记为“成功”和“失败”。

**二项场景** — 满足全部四个条件的概率场景：固定试验次数n、试验相互独立、成功概率p恒定、每次试验恰好有两个结果。

> **二项条件助记符**
>
> BINS：二元结果（Binary outcome）、独立试验（Independent trials）、固定试验次数（Fixed Number of trials）、恒定成功概率（constant Success probability）

**概念自测**

判断以下哪些场景属于有效的二项场景

1. 从标准牌组中无放回抽取5张牌，统计抽到的A牌数量

   *解析:* 试验不独立，无放回抽样会导致每次试验的成功概率发生变化。

2. 抛掷一枚公平的6面骰子10次，统计掷出6点的次数

   *解析:* 满足全部BINS条件：二元结果、独立抛掷、n=10、p=1/6恒定。

## 二项概率质量函数

对于二项随机变量X ~ B(n,p)，观测到恰好k次成功的概率可以通过结合组合数与独立概率规则的概率质量函数计算。

$$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0,1,2,...,n$$

**例题:** 抛掷一枚公平硬币7次，计算恰好得到4次正面的概率。

1. 定义分布：X为7次抛掷中正面的次数，因此X ~ B(7, 0.5)
2. 将n=7、k=4、p=0.5代入概率质量函数
3. $$P(X=4) = \binom{7}{4} (0.5)^4 (0.5)^{3}$$
4. $$= 35 \times (0.5)^7 = 35 / 128 ≈ 0.2734$$

**考试命令词**

IB考试题对二项概率计算使用特定的指令术语：

- **Find P(X = k)** — 计算k次成功的精确概率，无需额外步骤

- **Show that P(X > 3) < 0.5** — 你必须写出完整的概率求和过程来证明该不等式成立

## 二项分布的期望与方差

无需对所有可能的k值求和，你可以使用预先推导得到的二项分布期望与方差的闭式公式，该公式对所有n≥1且0≤p≤1均成立。

$$\mathbb{E}(X) = np, \quad \text{Var}(X) = np(1-p)$$

**推导:** 推导二项分布的E(X)

*起点:* X可以表示为n个独立伯努利随机变量X_i的和，每个X_i的期望E(X_i)=p

1. 根据期望的线性性可得E(X) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)
2. 展开为各独立期望的和：E(X) = sum_{i=1}^n E(X_i)
3. $$= \sum_{i=1}^n p = np$$

*结论:* 二项分布的期望就是试验次数与成功概率的乘积。

**例题:** 某工厂生产的每件元件为次品的概率为0.02。对于一批500件元件，求次品数量的期望值和方差。

1. 定义X ~ B(500, 0.02)
2. $$E(X) = 500 \times 0.02 = 10$$
3. $$Var(X) = 500 \times 0.02 \times 0.98 = 9.8$$

## 累积二项概率计算

大多数IB考试题要求计算P(X ≤ k)或P(X ≥ k)这类累积概率，你可以直接使用图形计算器内置的二项累积分布函数（CDF）计算，避免手动累加大量独立概率质量函数项。

> **图形计算器最佳实践**
>
> 请始终确认你的图形计算器已设置为累积概率或独立概率的正确参数，混淆二者是非常常见的失分原因。

**例题:** 已知X ~ B(12, 0.6)，求P(X ≥ 9)。

1. 改写不等式以匹配标准CDF输入：P(X ≥9) = 1 - P(X ≤8)
2. 使用图形计算器的binomcdf(n=12, p=0.6, k=8)得到P(X ≤8) ≈ 0.7747
3. $$P(X ≥9) = 1 - 0.7747 ≈ 0.225$$

*计算器:* allowed

## 常见错误

- **错误做法:** 对无放回抽样场景使用二项分布
  - 原因: 试验不独立，违反了BINS全部条件
  - 正确做法: 无放回抽样场景应改用超几何分布
- **错误做法:** 将P(X ≥k)计算为1 - P(X ≤k)
  - 原因: 该计算排除了P(X=k)项，导致差一错误
  - 正确做法: 将P(X ≥k)改写为1 - P(X ≤ k-1)以包含所有有效项
- **错误做法:** 在概率质量函数中遗漏组合数，写出P(X=k) = p^k (1-p)^{n-k}
  - 原因: 该式仅计算了k次成功的某一个特定有序序列的概率，没有统计所有可能的序列
  - 正确做法: 乘以二项式系数n选k，以统计所有成功与失败的排列情况
- **错误做法:** 使用公式Var(X) = np计算二项分布的方差
  - 原因: 该式给出的是期望值而非方差，丢失了(1-p)因子
  - 正确做法: 使用完整的方差公式Var(X) = np(1-p)
- **错误做法:** 在多步问题中过早对中间概率值取整
  - 原因: 这会引入累积舍入误差，导致最终答案超出IB评分允许的误差范围
  - 正确做法: 在计算到最后一步之前，将完整的未取整值保留在图形计算器内存中

## 速查表

| 物理量 | X ~ B(n,p)的公式 |
| --- | --- |
| 恰好k次成功的概率质量函数 | P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} |
| 到k为止的累积概率 | P(X ≤k) = \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} |
| 期望值 | E(X) = np |
| 方差 | Var(X) = np(1-p) |

## 下一步

掌握二项分布是 AA HL 后续概率与统计主题的关键基础，包括用正态分布建模，以及运用条件概率进行推理。你将经常结合二项概率规则、组合数学与条件概率来解答占统计学总分15-20%的Paper 3拓展题。请确保在考试场景中选择该模型之前，你可以快速验证当前场景是否满足二项条件。

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-binomial-distribution/