二项分布与泊松分布

IB 数学：分析与方法 HL· 主题4：统计与概率，4.6 离散分布· 30 分钟阅读

1. 二项分布★★☆☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

二项分布

$X \sim B (n, p)$

描述 $n$ 次独立伯努利试验中成功次数的离散概率分布，每次试验有两种结果，且成功概率 $p$ 恒定。

例:

蒙10道选择题时答对题目的数量。

二项分布需要满足四个条件：(1) 试验次数固定；(2) 每次试验有两种可能结果；(3) 试验相互独立；(4) 成功概率恒定。核心性质如下：

概率质量函数： $P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
期望： $E (X) = n p$
方差： $Var (X) = n p (1 - p)$

📐 例题

学校里12%的学生是左撇子，随机抽取7名学生，求恰好2名是左撇子的概率，以及左撇子学生的期望数量。

1
检查条件：固定 $n = 7$ 次试验，两种结果（左/右撇子），抽取独立，恒定 $p = 0.12$ ，因此 $X \sim B (7, 0.12)$
2
对 $k = 2$ 使用二项PMF：
3
$P(X=2) = \binom{7}{2} (0.12)^2 (0.88)^5$
4
计算得： $(2 7) = 21$ ，因此 $21 \times 0.0144 \times 0.4182 \approx 0.160$
5
计算期望：
6
$E(X) = np = 7 \times 0.12 = 0.84$

Exam tip:

一定要先验证四个二项分布条件，才能拿到全部方法分。

2. 泊松分布★★★☆☆⏱ 15 min

✓ 计算器

📘 定义

泊松分布

$X \sim Po (λ)$

描述固定时间或空间区间内事件发生数量的离散概率分布，要求事件以恒定平均速率发生，且相互独立。

例:

1小时内经过检查站的车辆数量。

泊松分布的一个独特性质是它的均值等于方差，核心性质如下：

概率质量函数： $P (X = k) = \frac{e ^{- λ} λ ^{k}}{k !}$
期望： $E (X) = λ$
方差： $Var (X) = λ$

📐 例题

一个网站平均每10分钟收到4次点击，求10分钟内恰好收到6次点击的概率，以及不到2次点击的概率。

1
确认条件：平均速率恒定，事件独立，因此 $X \sim Po (4)$ ，参数 $λ = 4$
2
计算 $P (X = 6)$ ：
3
$P(X=6) = \frac{e^{-4} 4^6}{6!} = \frac{4096 e^{-4}}{720} \approx 0.104$
4
计算 $P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1)$ ：
5
$P(X < 2) = \frac{e^{-4} 4^0}{0!} + \frac{e^{-4} 4^1}{1!} = e^{-4}(1 + 4) = 5e^{-4} \approx 0.092$

3. 二项分布的泊松近似★★★☆☆⏱ 20 min

✓ 计算器

当二项分布的试验次数 $n$ 很大，成功概率 $p$ 很小时，可以用参数为 $λ = n p$ 的泊松分布近似它。IB中该近似有效的经验法则是： $n > 10$ 且 $p < 0.1$ ，或 $n > 50$ 且 $n p < 10$ 。

📐 例题

某工厂生产的产品中有0.5%是次品，随机抽取200件产品，用泊松近似求恰好有2件次品的概率。

1
确认条件： $n = 200$ 很大， $p = 0.005$ 很小，计算得 $λ = n p = 200 \times 0.005 = 1$
2
将 $X \sim B (200, 0.005)$ 近似为 $X \approx Po (1)$
3
用泊松PMF计算 $P (X = 2)$ ：
4
$P(X=2) = \frac{e^{-1} 1^2}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx 0.184$

✓ 快速检测

对于二项分布 $X \sim B (100, 0.02)$ ，何时可以使用泊松近似？
- 从不可以
- 可以，因为n大且p小
- 仅当n < 50时可以
- 仅当p > 0.1时可以
显示答案
1 —
正确： $n = 100$ 很大， $p = 0.02$ 很小，因此这里适合使用泊松近似，参数 $λ = 2$ 。

4. 常见陷阱

错误做法:

假设所有计数数据都自动服从泊松分布

原因:

泊松分布要求事件相互独立且以恒定速率发生，聚类或不独立的事件违反该假设

正确做法:

开始计算前一定要先检查分布条件，即使最终答案错误，也能拿到方法分。

错误做法:

改变泊松分布的区间大小时忘记缩放 $λ$

原因:

$λ$ 是给定区间的平均速率，因此会随区间大小成比例缩放

正确做法:

将 $λ$ 乘以新区间的缩放因子，例如，每10分钟平均2次 = 每30分钟平均6次。

错误做法:

二项方差误用 $n p$ ，而非正确的 $n p (1 - p)$

原因:

二项分布的方差同时依赖n和p，当p>0时方差总是小于均值

正确做法:

记住：对于二项分布，方差 = 均值 $\times (1 - p)$ ，即 $Var (X) = n p (1 - p)$ 。

错误做法:

当p很大时（例如p = 0.8）仍使用泊松近似

原因:

该近似仅在p很小时有效，p大时可以对失败次数建模，或使用正态近似

正确做法:

根据IB要求，仅当p < 0.1且n很大时，才对二项分布使用泊松近似。

5. 速查表

分布	记号	均值	方差	适用场景
二项分布	$X \sim B (n, p)$	$n p$	$n p (1 - p)$	n次固定试验中的成功次数
泊松分布	$X \sim Po (λ)$	$λ$	$λ$	固定区间内的事件数量
二项分布的泊松近似	$X \approx Po (n p)$	$n p$	$n p$	n大， $p < 0.1$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

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下一步

二项分布和泊松分布是核心离散概率模型，你会在IB AA HL的P1和P2考试中频繁用到，它们经常与条件概率或总体参数假设检验结合考查。掌握选择正确分布的条件是一项关键技能，能为你接下来学习连续分布打好基础，连续分布是统计单元的下一个主要主题。你现在将在此基础上学习最常见的连续分布：正态分布，正态分布也可用于近似大n的二项分布。