概率基本概念与法则

IB 数学：分析与方法 HL· 第4单元：统计与概率，主题3· 15 分钟阅读

1. 概率核心术语★☆☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

样本空间

S

随机试验所有可能不同结果构成的集合，所有结果必须互斥且涵盖所有可能结果。

例:

掷一枚六面骰子， $S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$

📘 定义

事件

A, B, ...

事件是样本空间的任意子集，我们通常关注特定事件发生的概率。

例:

掷骰子时，事件 $E = 掷出偶数 = {2, 4, 6}$

📐 例题

随机试验为抛掷两枚公平硬币，写出样本空间，并确定事件 $A = 至少一枚硬币正面朝上$ 。

1
每枚硬币可以正面（ $H$ ）朝上或反面（ $T$ ）朝上，因此我们列出所有有序结果：
2
$S = \{(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)\}$
3
事件 $A$ 包含所有至少有一枚正面的结果，因此我们选出所有符合条件的结果：
4
$A = \{(H,H), (H,T), (T,H)\}$

2. 对立事件与对立法则★☆☆☆☆⏱ 3 min

📘 定义

对立事件

A'

事件 $A$ 的对立事件是 $A$ 不**发生的事件， $A^{'}$ 包含样本空间中所有不在 $A$ 里的结果。

例:

若 $A = 掷两枚骰子至少得到一个 6$ ，则 $A^{'} = 掷两枚骰子没有得到 6$

对立法则直接由 $P (S) = 1$ 推导得出：

P(A) + P(A') = 1 \implies P(A) = 1 - P(A')

该法则在计算「至少一个」类型的概率时特别有用，这种情况下计算对立事件比直接计算原事件简单得多。

📐 例题

计算掷两枚公平六面骰子至少得到一个6的概率。

1
设 $A = 至少一个 6$ ，对立事件为 $A^{'} = 两枚骰子都没有 6$ 。
2
总共有 $6 \times 6 = 36$ 种可能结果，没有6的情况下，每枚骰子有5种可能结果：
3
$\text{Number of outcomes in } A' = 5 \times 5 = 25$
4
计算 $P (A^{'})$ ，然后应用对立法则：
5
$P(A') = \frac{25}{36} \implies P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

3. 复合事件的加法法则★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

互斥（不相交）事件

如果两个事件不能同时发生，即它们没有重叠结果，则为互斥事件。对于互斥事件， $A \cap B = \emptyset$ 所以 $P (A \cap B) = 0$ 。

通用加法法则用于计算 $A$ 或 $B$ （或两者）发生的概率：

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

如果 $A$ 和 $B$ 互斥，公式简化为 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ ，因为 $P (A \cap B) = 0$ 。

📐 例题

一个班有30名学生，16人学数学，12人学物理，8人同时学这两门。随机选一名学生，求该学生学数学或物理的概率是多少？

1
设 $M = 学生学数学$ ， $P = 学生学物理$ 。
2
根据题目，我们得到：
3
$P(M) = \frac{16}{30}, \quad P(P) = \frac{12}{30}, \quad P(M \cap P) = \frac{8}{30}$
4
两个事件不是互斥的（有学生同时学两门），因此使用通用加法法则：
5
$P(M \cup P) = \frac{16}{30} + \frac{12}{30} - \frac{8}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$

4. 独立事件与乘法法则★★☆☆☆⏱ 4 min

📘 定义

独立事件

如果一个事件的发生不会改变另一个事件发生的概率，则两个事件独立。独立的正式判定条件为： $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ 。

对于独立事件，乘法法则给出两个事件都发生的概率：

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

📐 例题

一个袋子装有5个红色弹珠和3个蓝色弹珠，随机摸出一个弹珠，放回后再摸第二个。求两个弹珠都是红色的概率。

1
设 $R_{1} = 第一个弹珠为红色$ ， $R_{2} = 第二个弹珠为红色$ 。
2
因为第一个弹珠被放回了，第一次摸的结果不影响第二次，因此两个事件独立。
3
$P(R_1) = P(R_2) = \frac{5}{8}$
4
应用独立事件的乘法法则：
5
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2) = \frac{5}{8} \times \frac{5}{8} = \frac{25}{64}$

5. 常见陷阱

错误做法:

混淆互斥事件和独立事件

原因:

互斥描述结果的重叠性，而独立描述事件之间的概率关系，这是两个不相关的概念。

正确做法:

请记住：如果两个概率非零的事件互斥，它们不可能独立，始终要分别核对每个术语的定义。

错误做法:

使用加法法则时忘记减去 $P (A \cap B)$

原因:

如果事件不互斥，相加 $P (A)$ 和 $P (B)$ 时，重叠的结果会被计数两次。

正确做法:

除非题目明确说明事件不相交，否则始终使用通用加法法则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ 。

错误做法:

将简单乘法法则应用于不独立事件

原因:

法则 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ 仅适用于独立事件。

正确做法:

仅在事件确认为独立时（例如有放回抽样、独立试验）使用简单乘法法则。

错误做法:

假设样本空间中所有结果是等可能的

原因:

很多随机试验的结果不满足均匀概率，因此直接计数结果会得到错误结果。

正确做法:

只有题目明确说明试验公平或选择均匀时，才能假设结果等可能。

6. 速查表

法则/概念	公式	适用场景
对立法则	$P (A) = 1 - P (A^{'})$	计算「至少一个」类型概率
通用加法法则	$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$	任意两个事件
加法法则（互斥事件）	$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$	无重叠的不相交事件
乘法法则（独立事件）	$P (A \cap B) = P (A) P (B)$	独立事件
独立性判定	$P (A \cap B) = P (A) P (B)$	确认两个事件是否独立

7. 常见问题

互斥事件和独立事件的核心区别是什么？

互斥描述的是结果的重叠性：没有重叠结果的事件是互斥的。独立描述的是概率关系：一个事件的发生不会改变另一个事件的概率。两个概率非零的事件不可能同时是互斥且独立的。

真题中的出现

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2022 · Paper 1
复合概率简短计算题
2023 · Paper 2
维恩图概率题

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syllabusIB AA HL 概率大纲官方大纲参考

下一步

现在你已经掌握了概率的基本概念和法则，你已经拥有了学习IB AA HL考试中所有高阶概率主题的必备基础。你在这里学到的法则会延伸到条件概率（即在已知另一事件已经发生的情况下计算某事件发生的概率），以及使用树状图和贝叶斯定理解决的多步概率问题。你还会在本单元后续将这些核心法则应用到离散和连续概率分布中，这些都是试卷1和试卷2中分值占比很高的主题。掌握这些基本概念对于避免丢失简单分至关重要，因为基础概率通常是考试中长大题的第一部分。