直线与平面的向量方程 (仅HL)

IB 数学：分析与方法 HL· 第三单元：几何与三角学，主题10· 25 分钟阅读

1. 三维空间中直线的向量方程★★☆☆☆⏱ 5 min

📘 定义

直线的向量方程

$r = a + t d$

过位置向量为 $a$ 的点、方向向量为 $d$ 的直线的通用形式，其中 $t \in R$ 是标量参数，可生成直线上的所有点。

例:

过 $(1, 2, 3)$ 方向为 $(2, - 1, 0)$ 的直线是 $r = 123 + t 2 - 1 0$

还有另外两种常用形式：参数形式（拆分为独立的 $x, y, z$ 分量）和笛卡尔形式（消去参数 $t$ ，得到连分数等式）。

📐 例题

求下列向量方程表示的直线的笛卡尔方程： $r = 2 - 1 4 + t 13 - 2$

1
拆分分量，写出直线的参数形式：
$x = 2 + t,\quad y = -1 + 3t,\quad z = 4 - 2t$
2
从每个方程中分离出 $t$ ：
$t = x - 2,\quad t = \frac{y+1}{3},\quad t = \frac{z-4}{-2}$
3
令所有 $t$ 的表达式相等，得到最终的笛卡尔形式：
$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{-2}$

2. 平面的向量方程★★★☆☆HL 专属⏱ 8 min

📘 定义

平面的法向式

$r \cdot n = d$

法向量为 $n$ （垂直于平面）的平面使用该形式，其中 $\frac{d}{∣ n ∣}$ 是原点到平面的垂直距离。平面上所有位置向量为 $r$ 的点都满足该方程。

IB考试中平面方程常用三种形式：法向量形式、笛卡尔形式（由法向式展开得到）和参数形式（使用平面内的两个方向向量）。若已知平面上三个点，可通过位置向量相减得到两个方向向量，再用叉积求出法向量。

📐 例题

求过点 $A (1, 0, 1)$ 、 $B (2, 1, 3)$ 和 $C (1, 2, 3)$ 的平面的笛卡尔方程

1
B和C的坐标分别减去A的坐标，得到平面内的两个方向向量：
$\vec{AB} = \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$
2
计算两个方向向量的叉积，得到法向量：
$\mathbf{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = -2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix}$
3
将点A的位置向量代入法向式，求出 $d$ ：
$d = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = (1)(-2) + 0(-2) + (1)(2) = 0$
4
展开并化简，得到笛卡尔形式：
$-2x -2y + 2z = 0 \implies x + y - z = 0$

3. 直线与平面的相交问题★★★★☆⏱ 8 min

求直线与平面的交点时有三种可能结果：直线与平面恰好交于一点、直线平行于平面且不相交，或整条直线都在平面上。对于两个平面，它们要么相交于一条直线，要么平行（不同平面或重合）。

📐 例题

求直线 $r = 121 + t 2 - 1 3$ 与平面 $2 x + 3 y - z = 7$ 的交点

1
写出直线的参数方程：
$x = 1 + 2t,\quad y = 2 - t,\quad z = 1 + 3t$
2
将参数表达式代入平面方程：
$2(1+2t) + 3(2-t) - (1+3t) = 7$
3
展开方程，求解 $t$ ：
$2 + 4t + 6 - 3t - 1 - 3t = 7 \implies 7 - 2t = 7 \implies t = 0$
4
回代 $t = 0$ ，得到交点坐标：
$(1, 2, 1)$

4. 直线与平面的夹角★★★★☆⏱ 4 min

三维向量图形之间的所有夹角都用点积计算，根据夹角的类型不同使用不同公式。本主题中所求夹角始终在 $0^{\circ}$ 到 $9 0^{\circ}$ 之间。

📘 定义

两个平面的夹角

两个平面的锐角等于它们法向量的锐角，计算公式为：

例:

$cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$

📐 例题

求平面 $x + y + z = 1$ 和 $2 x - y + 3 z = 2$ 的夹角，结果保留到整数度。

1
从笛卡尔方程中提取法向量：
$\mathbf{n_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{n_2} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$
2
计算点积和两个法向量的模长：
$\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = 4, \quad |\mathbf{n_1}| = \sqrt{3}, \quad |\mathbf{n_2}| = \sqrt{14}$
3
代入公式求出 $θ$ ：
$\cos\theta = \frac{|4|}{\sqrt{3}\sqrt{14}} \approx 0.617 \implies \theta \approx 52^\circ$

5. 常见陷阱

错误做法:

写直线方程时混淆位置向量和方向向量

原因:

交换二者会得到错误直线，该直线过原点而非给定点

正确做法:

始终将已知点的位置向量作为常数项，方向向量乘以参数。

错误做法:

角度公式中忘记取绝对值

原因:

点积为负时会得到钝角（补角），而非题目要求的锐角

正确做法:

计算直线和平面的夹角时，始终对点积取绝对值。

错误做法:

假设法向量相同的平面就是同一个平面

原因:

法向量相同的平面相互平行，但如果常数项 $d$ 不同，它们就是不同的平面

正确做法:

根据 $r \cdot n = d$ 检查 $d$ 的值，确认平行平面是重合还是不同。

错误做法:

用法向量的点积计算交线的方向

原因:

交线的方向必须同时垂直于两个法向量，这需要叉积而非点积

正确做法:

两个平面交线的方向向量始终是两个法向量的叉积。

错误做法:

转换为平面笛卡尔方程时交换法向量分量的顺序

原因:

这会打乱 $x, y, z$ 的系数，得到错误的平面方程

正确做法:

始终将法向量的第一个分量对应 $x$ ，第二个对应 $y$ ，第三个对应 $z$ 。

6. 速查表

图形	公式	说明
三维直线	$r = a + t d$	笛卡尔形式： $\frac{x - a _{x}}{d _{x}} = \frac{y - a _{y}}{d _{y}} = \frac{z - a _{z}}{d _{z}}$
平面（法向式）	$r \cdot n = d$	笛卡尔形式： $n_{x} x + n_{y} y + n_{z} z = d$
平面（参数式）	$r = a + s d_{1} + t d_{2}$	通过 $n = d_{1} \times d_{2}$ 转换
两直线夹角	$cos θ = \frac{∣ d _{1} \cdot d _{2} ∣}{∣ d _{1} ∣∣ d _{2} ∣}$	$d_{1}, d_{2}$ = 方向向量
两平面夹角	$cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$	$n_{1}, n_{2}$ = 法向量
直线与平面夹角	$sin θ = \frac{∣ d \cdot n ∣}{∣ d ∣∣ n ∣}$	$d$ = 直线方向向量， $n$ = 平面法向量

7. 常见问题

我需要记住平面方程的所有形式吗？

是的，考试题目经常需要根据给定信息在向量形式、参数形式和笛卡尔形式之间转换。

如何判断直线是否与平面平行？

若直线的方向向量与平面的法向量垂直，即点积等于零，则直线与平面平行。

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syllabusIB 官方AA HL大纲完整主题说明

下一步

掌握直线和平面的向量方程是IB AA HL考试中所有进阶三维向量主题的基础。下一个核心技能是计算点到直线、点到平面的距离，该技能完全依赖你正确写出这些图形向量方程的能力。本主题也为你应对涉及多个平面相交的拓展问题做准备，这类问题经常作为高分题出现在考试的Paper 1和Paper 2中。