# 直线与平面的向量方程 (仅HL)

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-vector-equations-of-lines-and/

本子主题讲解如何用向量表示三维空间中的直线和平面，包含每种图形的多种表达形式。你将学习如何求这些核心三维图形的交点，计算它们之间的夹角。

**先修:** [向量与标量点积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-vectors-dot-product/); [三维向量的叉积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-cross-product-of-vectors/)

## 学习目标

- 推导并使用二维和三维空间中直线的向量方程
- 以向量形式、参数形式和笛卡尔形式写出平面方程
- 求三维空间中直线与平面的交点
- 用点积计算直线与平面的夹角
- 区分平行平面、相交平面和重合平面

## 三维空间中直线的向量方程

**直线的向量方程** — 过位置向量为$\mathbf{a}$的点、方向向量为$\mathbf{d}$的直线的通用形式，其中$t \in \mathbb{R}$是标量参数，可生成直线上的所有点。

*记法:* $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}$

*例:* 过$(1,2,3)$方向为$(2,-1,0)$的直线是$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$

还有另外两种常用形式：参数形式（拆分为独立的$x, y, z$分量）和笛卡尔形式（消去参数$t$，得到连分数等式）。

**例题:** 求下列向量方程表示的直线的笛卡尔方程：$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$

1. 拆分分量，写出直线的参数形式：

   $$x = 2 + t,\quad y = -1 + 3t,\quad z = 4 - 2t$$
2. 从每个方程中分离出$t$：

   $$t = x - 2,\quad t = \frac{y+1}{3},\quad t = \frac{z-4}{-2}$$
3. 令所有$t$的表达式相等，得到最终的笛卡尔形式：

   $$\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 4}{-2}$$

> **exam_tip**
>
> 始终检查方向向量分量与笛卡尔形式中的分母是否对应，避免符号错误。

## 平面的向量方程

**平面的法向式** — 法向量为$\mathbf{n}$（垂直于平面）的平面使用该形式，其中$\frac{d}{|\mathbf{n}|}$是原点到平面的垂直距离。平面上所有位置向量为$\mathbf{r}$的点都满足该方程。

*记法:* $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d$

IB考试中平面方程常用三种形式：法向量形式、笛卡尔形式（由法向式展开得到）和参数形式（使用平面内的两个方向向量）。若已知平面上三个点，可通过位置向量相减得到两个方向向量，再用叉积求出法向量。

**例题:** 求过点$A(1,0,1)$、$B(2,1,3)$和$C(1,2,3)$的平面的笛卡尔方程

1. B和C的坐标分别减去A的坐标，得到平面内的两个方向向量：

   $$\vec{AB} = \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{pmatrix}0\\2\\2\end{pmatrix}$$
2. 计算两个方向向量的叉积，得到法向量：

   $$\mathbf{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = -2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = \begin{pmatrix}-2\\-2\\2\end{pmatrix}$$
3. 将点A的位置向量代入法向式，求出$d$：

   $$d = \mathbf{a} \cdot \mathbf{n} = (1)(-2) + 0(-2) + (1)(2) = 0$$
4. 展开并化简，得到笛卡尔形式：

   $$-2x -2y + 2z = 0 \implies x + y - z = 0$$

> **tip**
>
> 你始终可以将法向量除以一个非零标量来化简，让笛卡尔方程更便于计算。

## 直线与平面的相交问题

求直线与平面的交点时有三种可能结果：直线与平面恰好交于一点、直线平行于平面且不相交，或整条直线都在平面上。对于两个平面，它们要么相交于一条直线，要么平行（不同平面或重合）。

**例题:** 求直线$\mathbf{r} = \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$与平面$2x + 3y - z = 7$的交点

1. 写出直线的参数方程：

   $$x = 1 + 2t,\quad y = 2 - t,\quad z = 1 + 3t$$
2. 将参数表达式代入平面方程：

   $$2(1+2t) + 3(2-t) - (1+3t) = 7$$
3. 展开方程，求解$t$：

   $$2 + 4t + 6 - 3t - 1 - 3t = 7 \implies 7 - 2t = 7 \implies t = 0$$
4. 回代$t=0$，得到交点坐标：

   $$(1, 2, 1)$$

> **info**
>
> 若求解$t$时得到矛盾等式（例如$0=5$），说明直线平行于平面且不相交。若得到$0=0$，说明整条直线都在平面上。

## 直线与平面的夹角

三维向量图形之间的所有夹角都用点积计算，根据夹角的类型不同使用不同公式。本主题中所求夹角始终在$0^\circ$到$90^\circ$之间。

**两个平面的夹角** — 两个平面的锐角等于它们法向量的锐角，计算公式为：

*例:* $\cos\theta = \frac{|\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}|}{|\mathbf{n_1}||\mathbf{n_2}|}$

**例题:** 求平面$x + y + z = 1$和$2x - y + 3z = 2$的夹角，结果保留到整数度。

1. 从笛卡尔方程中提取法向量：

   $$\mathbf{n_1} = \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \mathbf{n_2} = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$$
2. 计算点积和两个法向量的模长：

   $$\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2} = 4, \quad |\mathbf{n_1}| = \sqrt{3}, \quad |\mathbf{n_2}| = \sqrt{14}$$
3. 代入公式求出$\theta$：

   $$\cos\theta = \frac{|4|}{\sqrt{3}\sqrt{14}} \approx 0.617 \implies \theta \approx 52^\circ$$

> **exam_tip**
>
> 求直线与平面的夹角时，使用公式$\sin\theta = \frac{|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{d}||\mathbf{n}|}$，而非$\cos\theta$。所求夹角与方向向量和法向量的夹角互余。

## 常见错误

- **错误做法:** 写直线方程时混淆位置向量和方向向量
  - 原因: 交换二者会得到错误直线，该直线过原点而非给定点
  - 正确做法: 始终将已知点的位置向量作为常数项，方向向量乘以参数。
- **错误做法:** 角度公式中忘记取绝对值
  - 原因: 点积为负时会得到钝角（补角），而非题目要求的锐角
  - 正确做法: 计算直线和平面的夹角时，始终对点积取绝对值。
- **错误做法:** 假设法向量相同的平面就是同一个平面
  - 原因: 法向量相同的平面相互平行，但如果常数项$d$不同，它们就是不同的平面
  - 正确做法: 根据$\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d$检查$d$的值，确认平行平面是重合还是不同。
- **错误做法:** 用法向量的点积计算交线的方向
  - 原因: 交线的方向必须同时垂直于两个法向量，这需要叉积而非点积
  - 正确做法: 两个平面交线的方向向量始终是两个法向量的叉积。
- **错误做法:** 转换为平面笛卡尔方程时交换法向量分量的顺序
  - 原因: 这会打乱$x, y, z$的系数，得到错误的平面方程
  - 正确做法: 始终将法向量的第一个分量对应$x$，第二个对应$y$，第三个对应$z$。

## 速查表

| 图形 | 公式 | 说明 |
| --- | --- | --- |
| 三维直线 | $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{d}$ | 笛卡尔形式：$\frac{x-a_x}{d_x} = \frac{y-a_y}{d_y} = \frac{z-a_z}{d_z}$ |
| 平面（法向式） | $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d$ | 笛卡尔形式：$n_x x + n_y y + n_z z = d$ |
| 平面（参数式） | $\mathbf{r} = \mathbf{a} + s\mathbf{d_1} + t\mathbf{d_2}$ | 通过$\mathbf{n} = \mathbf{d_1} \times \mathbf{d_2}$转换 |
| 两直线夹角 | $\cos\theta = \frac{\|\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}\|}{\|\mathbf{d_1}\|\|\mathbf{d_2}\|}$ | $\mathbf{d_1}, \mathbf{d_2}$ = 方向向量 |
| 两平面夹角 | $\cos\theta = \frac{\|\mathbf{n_1} \cdot \mathbf{n_2}\|}{\|\mathbf{n_1}\|\|\mathbf{n_2}\|}$ | $\mathbf{n_1}, \mathbf{n_2}$ = 法向量 |
| 直线与平面夹角 | $\sin\theta = \frac{\|\mathbf{d} \cdot \mathbf{n}\|}{\|\mathbf{d}\|\|\mathbf{n}\|}$ | $\mathbf{d}$ = 直线方向向量，$\mathbf{n}$ = 平面法向量 |

## 下一步

掌握直线和平面的向量方程是IB AA HL考试中所有进阶三维向量主题的基础。下一个核心技能是计算点到直线、点到平面的距离，该技能完全依赖你正确写出这些图形向量方程的能力。本主题也为你应对涉及多个平面相交的拓展问题做准备，这类问题经常作为高分题出现在考试的Paper 1和Paper 2中。

- [直线与平面的交点和夹角（仅限HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-intersections-and-angles-between-lines/)
- [点到平面的距离（仅HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-distance-from-point-to-plane/)

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