三角方程

IB 数学：分析与方法 HL· Topic 3: Geometry and Trigonometry· 15 分钟阅读

1. 一次三角方程★★☆☆☆⏱ 5 min

一次三角方程的形式为 $a sin (b x + c) = k$ 、 $a cos (b x + c) = k$ 或 $a tan (b x + c) = k$ ，其中 $a, b, c, k$ 均为常数。求解时我们先分离出三角函数项，再利用单位圆寻找解。

📘 定义

一次三角方程

三角函数仅为一次幂，且不存在不同三角函数项乘积的三角方程。

📐 例题

在 $0 \leq x < 2 π$ 范围内求解 $2 sin x = 1$

1
首先，分离出 $sin x$ ：
2
$\sin x = \frac{1}{2}$
3
找到第一象限的主解： $x = \frac{π}{6}$ 。正弦在第一和第二象限均为正，因此 $[0, 2 π)$ 内的第二个解为：
4
$x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$
5
两个解都落在给定定义域内，因此最终解为：
6
$x = \frac{\pi}{6}, \quad x = \frac{5\pi}{6}$

2. 二次三角方程★★★☆☆⏱ 6 min

二次三角方程可以整理为 $a u^{2} + b u + c = 0$ 的形式，其中 $u$ 是 $sin x$ 、 $cos x$ 或 $tan x$ 这类三角函数。我们通过因式分解或求根公式求解二次方程，再分别求解每个得到的一次三角方程。

📐 例题

在 $0 \leq x \leq π$ 范围内求解 $2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 = 0$

1
令 $u = cos x$ 换元，得到标准二次方程：
2
$2u^2 - 3u + 1 = 0$
3
对二次方程因式分解：
4
$(2u - 1)(u - 1) = 0$
5
由此得到两种情况： $u = 1$ 或 $u = \frac{1}{2}$ ，分别对 $x$ 求解：
6
情况1： $cos x = 1 ⟹ x = 0$ ，该值在定义域内。情况2： $cos x = \frac{1}{2} ⟹ x = \frac{π}{3}$ （另一个解 $\frac{5 π}{3}$ 大于 $π$ ，因此舍去）。
7
最终解：
8
$x = 0, \quad x = \frac{\pi}{3}$

3. 利用恒等式求解三角方程★★★★☆⏱ 7 min

许多三角方程需要利用二倍角、和角或勾股恒等式化简为可解的一次或二次形式。解题时要始终考虑将多角或不同三角函数项改写为单个变量的形式。

📐 例题

在 $0 \leq x < 2 π$ 范围内求解 $sin 2 x = sin x$

1
利用二倍角恒等式 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ ：
2
$2\sin x \cos x = \sin x$
3
移项并提出公因子 $sin x$ （不要将两边同时除以 $sin x$ ，这会导致丢解）：
4
$2\sin x \cos x - \sin x = 0 \implies \sin x (2\cos x - 1) = 0$
5
令每个因子等于零后求解：情况1： $sin x = 0 ⟹ x = 0, π$ 。情况2： $2 cos x - 1 = 0 ⟹ cos x = \frac{1}{2} ⟹ x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$ 。
6
所有解都落在定义域内，因此全部解为：
7
$x = 0, \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$

4. 无限制定义域下的通解★★★★☆⏱ 5 min

当题目没有指定定义域时，我们需要写出考虑三角函数周期性的通解。正弦和余弦的周期为 $2 π$ ，因此我们给所有基础解加上 $2 π n$ 。正切的周期为 $π$ ，因此给基础解加上 $π n$ ，其中 $n \in Z$ 。

📐 例题

求 $tan (x - \frac{π}{4}) = 1$ 的通解

1
令 $θ = x - \frac{π}{4}$ ， $tan θ = 1$ 的通解为：
2
$\theta = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$
3
代回 $θ = x - \frac{π}{4}$ ：
4
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n$
5
整理得到通解：
6
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

5. 常见陷阱

错误做法:

只保留计算器给出的主解，忽略其他象限的解

原因:

计算器仅输出一个主解，但三角方程每个周期内存在多个解

正确做法:

在加上周期倍数前，利用单位圆和三角函数值的符号找出一个周期内的所有基础解

错误做法:

将方程两边同时除以公有的三角函数项（例如将 $sin 2 x = sin x$ 两边除以 $sin x$ ）

原因:

这会消去三角函数项等于零的情况，导致丢失所有对应解

正确做法:

整理方程后提出公有的三角函数项，保留所有可能的解情况

错误做法:

给正切方程的周期加上 $2 π n$

原因:

正切每 $π$ 重复一次，不是 $2 π$ ，因此这种错误会漏掉通解中一半的解

正确做法:

正切方程始终加 $π n$ ，正弦和余弦方程加 $2 π n$

错误做法:

没有根据给定定义域筛选解

原因:

得到通解后，很容易会包含落在给定区间外的解

正确做法:

列出所有候选解，在写出最终答案前逐一检查确认其落在定义域范围内

错误做法:

方程两边平方后不检验多余解

原因:

两边平方会引入不满足原方程的多余解

正确做法:

将所有解代入原方程检验，去掉所有无效的多余解

6. 速查表

方程类型	核心方法	通解形式
$sin θ = k$	利用对称性找基础解	$θ = α + 2 π n, θ = π - α + 2 π n, n \in Z$
$cos θ = k$	利用对称性找基础解	$θ = α + 2 π n, θ = - α + 2 π n, n \in Z$
$tan θ = k$	每个周期一个基础解	$θ = α + π n, n \in Z$
二次三角方程	换元 $u = sin x / cos x / tan x$	因式分解/求解二次方程，分别解每个一次情况
多角三角方程	利用三角恒等变换化简	根据多角系数调整周期

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求解二次三角方程
2022 · 2
求一次三角方程的通解
2023 · 1
利用二倍角恒等式求解

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