# 弧度与单位圆

> IB 数学：分析与方法 HL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-radians-and-the-unit-circle/

本子主题介绍弧度这种自然的角度单位，定义单位圆，并将单位圆坐标与三角比联系起来。你将学习计算精确三角值，求解弧长和扇形问题。

**先修:** [基础直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-right-triangle-trigonometry/)

## 学习目标

- 在角度的度与弧度单位之间转换
- 使用弧度计算弧长和扇形面积
- 用单位圆定义正弦、余弦和正切
- 求出常见角度的精确三角值

## 弧度度量与单位转换

弧度是由圆的弧长与半径的比值定义的无量纲角度单位。它是高等三角学和微积分的标准单位，简化了许多使用度会变得复杂的关键公式。

**弧度** — 1弧度是圆中长度等于半径的弧所对的圆心角。一整圈旋转是 $2\pi$ 弧度 = $360^\circ$。

*记法:* rad (通常省略)

*例:* 半圈旋转是 $\pi$ 弧度 = $180^\circ$。

**例题:** 将 $135^\circ$ 转换为弧度，并将 $\frac{7\pi}{4}$ 弧度转换为度。

1. 转换规则是 $180^\circ = \pi$ 弧度。度转弧度，乘以 $\frac{\pi}{180}$：
2. $$135 \times \frac{\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$$
3. 弧度转度，乘以 $\frac{180^\circ}{\pi}$：
4. $$\frac{7\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 315^\circ$$

> **tip**
>
> 除非题目要求小数近似，否则为了拿到满分，请始终将弧度保留为 $\pi$ 的精确形式。

> **考试提示:** 请检查题目，确认最终答案需要使用哪种单位。

## 弧长与扇形面积

当角度用弧度度量时，弧长和扇形面积的公式比使用度时简单得多。两个公式都取决于圆半径 $r$ 和圆心角 $\theta$。

**弧长** — 对于半径为 $r$ 的圆，圆心角 $\theta$（单位为弧度）所对弧的长度为 $s = r\theta$。

*记法:* s

*例:* 对于 $r=1$ 和 $\theta=2\pi$，$s=2\pi$，与单位圆的周长一致。

圆心角 $\theta$（单位为弧度）对应的扇形面积为 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$。这是从使用度的全圆占比公式化简而来的。

**例题:** 半径为 6 cm 的圆的一个扇形，圆心角为 $\frac{2\pi}{3}$ 弧度。求该扇形的弧长和面积。

1. 使用弧长公式 $s=r\theta$：
2. $$s = 6 \times \frac{2\pi}{3} = 4\pi \text{ cm}$$
3. 使用扇形面积公式 $A = \frac{1}{2}r^2\theta$：
4. $$A = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{2\pi}{3} = 12\pi \text{ cm}^2$$

> **warning**
>
> 这些公式仅在 $\theta$ 单位为弧度时有效。如果角度以度给出，请务必先转换为弧度。

## 单位圆上的三角函数

单位圆将三角比从仅适用于直角三角形中的锐角，扩展到所有实数角度度量。它是研究三角函数的基础工具。

**单位圆定义** — 对于标准位置（从x轴正方向逆时针旋转）的任意角度 $\theta$，其终边与单位圆交点坐标为 $(x,y) = (\cos\theta, \sin\theta)$，且 $\tan\theta = \frac{y}{x} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$。

**例题:** 使用单位圆求 $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)$、$\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ 和 $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)$ 的精确值。

1. $\frac{5\pi}{6}$ 位于第二象限，该象限只有正弦为正。
2. 参考角为 $\pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$，其单位圆坐标为 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$。
3. 调整第二象限的符号，坐标变为 $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$。
4. $$sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}, \quad cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \quad tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

> **ASTC 法则**
>
> All Students Take Calculus：第一象限全正，第二象限正弦正，第三象限正切正，第四象限余弦正。

## 常见角度的精确值

IB 考试经常要求给出 $\frac{\pi}{6}$ 和 $\frac{\pi}{4}$ 整数倍常见角度的三角函数精确值，要求你不使用计算器从单位圆中回忆这些值。

**概念自测**

测试你的基础记忆：

1. $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 的值是多少？

   - 0
   - 1
   - -1
   - undefined

   *解析:* 正确！在 $\frac{\pi}{2}$ 处，单位圆交点为 $(0,1)$，所以 $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = x = 0$。

2. $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$ 的值是多少？

   - 0
   - 1
   - -1
   - $\frac{\sqrt{2}}{2}$

   *解析:* 正确！在 $\frac{3\pi}{2}$ 处，单位圆交点为 $(0,-1)$，所以 $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = y = -1$。

**例题:** 求 $0 \leq \theta < 2\pi$ 范围内所有满足 $\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的 $\theta$。

1. 正弦在第三和第四象限为负，因此有两个解。
2. 满足 $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的参考角为 $\frac{\pi}{3}$。
3. 第三象限解：$\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$
4. 第四象限解：$2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$
5. 最终解：$\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

## 常见错误

- **错误做法:** 在弧长/扇形面积公式中使用度而非弧度
  - 原因: 公式 $s=r\theta$ 和 $A=\frac{1}{2}r^2\theta$ 仅对弧度单位有效，使用度会得到错误结果。
  - 正确做法: 请务必先将度乘以 $\frac{\pi}{180}$ 转换为弧度。
- **错误做法:** 混淆单位圆上的 $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$
  - 原因: 很容易搞混x坐标和y坐标，导致精确值错误。
  - 正确做法: 记住：$(\cos\theta, \sin\theta) = (x,y)$ — 字母顺序，cos 在 sin 前，x 在 y 前。
- **错误做法:** 忘记根据象限添加正确符号
  - 原因: 许多学生只记得参考角的正值，忽略了象限法则。
  - 正确做法: 请务必先检查象限，再应用 ASTC 法则得到正确符号。
- **错误做法:** 给弧度度量添加度符号
  - 原因: 这是 IB 考试中常见的格式错误，可能会扣分。
  - 正确做法: 弧度省略度符号：写 $\frac{3\pi}{4}$，不要写 $\frac{3\pi}{4}^\circ$。

## 速查表

| 角度 (°) | 角度 (弧度) | sinθ | cosθ | tanθ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
| 45 | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| 60 | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90 | $\frac{\pi}{2}$ | $1$ | $0$ | undefined |
| 180 | $\pi$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
| 270 | $\frac{3\pi}{2}$ | $-1$ | $0$ | undefined |
| 360 | $2\pi$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| 公式 |  | $s = r\theta$ | $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ | $(x,y)=(\cos\theta,\sin\theta)$ |

## 下一步

弧度和单位圆是 IB AA HL 所有后续三角学内容的绝对基础。本主题出现在每个后续三角学单元中，从三角函数绘图、三角恒等式的证明与使用、解三角方程，直到复数的极坐标形式表示。记住常见角度的精确值，熟练掌握弧度度量，会为你在期末考试中节省时间，避免几乎所有三角题中容易犯的错误。

- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-right-triangle-trigonometry/)
- [非直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-non-right-triangle-trigonometry/)
- [三角方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-trigonometric-equations/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-radians-and-the-unit-circle/