# 几何与三角学

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-overview/
> 占比: 占IB考试总分的18-20%

本单元涵盖IB AA HL的核心三角学、坐标几何和向量几何，包含仅HL要求的三维向量平面拓展内容，是解决纯数学和应用数学问题的基础工具包。

**先修:** [基础代数运算和坐标几何基本原理](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-overview/); [前一单元所学的函数性质和绘图知识](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-overview/)

## 学习目标

- 使用三角学和向量方法为二维和三维空间问题建模
- 求解一次和二次三角方程，应用核心三角恒等式
- 计算三维空间中线与面的角度、距离和交点（HL）
- 使用坐标、向量、全等和相似方法证明几何性质
- 应用三角形三角法则求解应用和抽象几何问题

## 单元概览

本单元从基础三角定义逐步拓展到HL要求的高级三维向量几何。我们先讲解角度测量和三角形三角学，接着介绍三角方程和恒等式，之后转向二维和三维问题的坐标几何与向量几何。

所有AA HL学生都可以学习核心内容，仅HL要求的拓展内容会清晰标注。下方的13个子主题循序渐进，因此我们建议按顺序学习，以掌握考试所需的全部概念。

本单元所有子主题列表：
- [弧度与单位圆](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-radians-and-the-unit-circle/) — 学习弧度角度测量，并用单位圆定义三角函数。
- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-right-triangle-trigonometry/) — 定义直角三角形的正弦、余弦和正切，求解未知边和角度。
- [非直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-non-right-triangle-trigonometry/) — 对任意非直角三角形应用正弦定理、余弦定理和面积公式。
- [三角方程](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-trigonometric-equations/) — 在指定定义域内求解一次和二次三角方程。
- [和角与二倍角恒等式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-compound-and-double-angle-identities/) — 使用和角与二倍角公式化简表达式、求解方程。
- [二维坐标几何](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-2d-coordinate-geometry/) — 研究二维坐标平面上的直线、圆和几何性质。
- [三维坐标几何](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-3d-coordinate-geometry/) — 将坐标概念拓展到三维坐标系。
- [向量基础与点积](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-vector-fundamentals-and-dot-product/) — 学习向量符号、运算，以及用于求角度和模长的点积。
- [向量叉积（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-cross-product-of-vectors/) — 计算叉积，并用其求面积和平面的法向量。
- [直线与平面的向量方程（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-vector-equations-of-lines-and/) — 书写并理解三维空间中直线和平面的向量形式。
- [直线与平面的交点和夹角（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-intersections-and-angles-between-lines/) — 计算直线与平面的交点/交线以及夹角。
- [点到平面的距离（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-distance-from-point-to-plane/) — 使用向量公式求点到平面的最短距离。
- [全等与相似](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u3-congruence-and-similarity/) — 使用三角形的全等和相似判定定理证明几何性质。

## 常见错误

- **错误做法:** 在大定义域内求解三角方程时遗漏所有解
  - 原因: 三角函数是周期函数，因此通常存在多个解
  - 正确做法: 务必检查求解区间，列出所有符合要求的角度
- **错误做法:** 计算器计算时混淆角度制和弧度制
  - 原因: 大多数IB三角问题要求使用弧度，但计算器默认是角度制
  - 正确做法: 开始计算前确认计算器的模式
- **错误做法:** 使用点积求角度时遗漏模长项
  - 原因: 公式依赖归一化向量来得到正确的余弦值
  - 正确做法: 务必除以向量模长的乘积

## 速查表

| 概念 | 核心公式 |
| --- | --- |
| 正弦定理 | $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ |
| 余弦定理 | $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ |
| 正弦和角恒等式 | $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ |
| 二倍角余弦公式 | $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta$ |
| 点积 | $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|a\|\|b\|\cos \theta = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ |
| 叉积模长 | $\|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\| = \|a\|\|b\|\sin \theta$（平行四边形面积） |
| 向量平面方程 | $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n} = d$，其中$\mathbf{n}$是单位法向量 |
| 点到平面的距离 | $\frac{\|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ |

## 下一步

从本单元的第一个子主题开始学习，逐步建立三角学基础知识，由于知识点循序渐进，请按顺序学习每个子主题。仅HL要求的内容已清晰标注，因此如果需要，你可以先专注学习核心内容。完成本单元全部内容后，你将进入下一单元学习微积分基础，从求导开始。

- [弧度与单位圆（本单元第一个子主题）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-radians-and-the-unit-circle/)
- [直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-right-triangle-trigonometry/)
- [非直角三角形三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-non-right-triangle-trigonometry/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-overview/