非直角三角形三角学

IB 数学 AA HL· 5 分钟阅读

1. 正弦定理与歧义多解情况★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

正弦定理

For triangle $A B C$ , with side $a$ opposite angle $A$ , $b$ opposite $B$ , $c$ opposite $C$

三角形任意一边与其对角正弦值的比值对所有边都为定值

例:

$\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$

正弦定理适用于以下两种已知情况：(1) 两角一边（AAS/ASA），或 (2) 两边及一对角（SSA，非夹角）。第二种SSA情况被称为歧义情况，因为两个不同的三角形都能满足给定的测量条件。

📐 例题

在三角形 $A B C$ 中， $a = 10$ cm， $A = 3 0^{\circ}$ ， $b = 12$ cm，求角 $B$ 所有可能的值

1
应用正弦定理，整理后求解 $sin B$ ：
2
$\frac{10}{\sin 30^\circ} = \frac{12}{\sin B}$
3
计算左侧，因为 $sin 3 0^{\circ} = 0.5$ ：
4
$\sin B = \frac{12 \times 0.5}{10} = 0.6$
5
计算器给出的第一个解是锐角：
6
$B_1 = \arcsin(0.6) \approx 36.9^\circ$
7
第二个可能的解是钝角，因为 $sin θ = sin (18 0^{\circ} - θ)$ ：
8
$B_2 = 180^\circ - 36.9^\circ = 143.1^\circ$
9
验证有效性： $143. 1^{\circ} + 3 0^{\circ} = 173. 1^{\circ} < 18 0^{\circ}$ ，因此两个解都有效。

2. 余弦定理★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

余弦定理

Same notation for triangle $A B C$ as before

关联边长和角度余弦值的定理，有两种常用形式，分别用于求边长或求角度

例:

Side form: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ ; Angle form: $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$

余弦定理适用于以下两种已知情况：(1) 三边（SSS），或 (2) 两边及其夹角（SAS）。与正弦定理不同，这里不存在歧义情况，因为钝角的余弦值为负，因此只会得到唯一解。

📐 例题

在三角形 $A B C$ 中， $a = 5$ cm， $b = 7$ cm，夹角 $C = 6 0^{\circ}$ ，求边 $c$ 的长度

1
使用余弦定理的边长形式：
2
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
3
代入已知值， $cos 6 0^{\circ} = 0.5$ ：
4
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)(0.5) = 25 + 49 - 35 = 39$
5
边长取正平方根：
6
$c = \sqrt{39} \approx 6.25 \text{ cm (3 s.f.)}$

✓ 快速检测

检验你对何时使用余弦定理的理解：

以下哪种情况需要使用余弦定理？
- 两角一边
- 两边及非夹角
- 两边及夹角
- 以上都是
显示答案
2 —
正确。只有SAS或SSS情况需要使用余弦定理；其他情况用正弦定理解题更快。

3. 非直角三角形的面积★☆☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

任意三角形的面积公式

任意三角形的面积等于两边长度乘积乘以它们夹角正弦值的一半

例:

$Area = \frac{1}{2} ab sin C$

这个公式适用于所有三角形，无论是直角还是非直角。如果你已知三边但不知道任何角度，可以先用余弦定理求出任意一个夹角，再应用面积公式。

📐 例题

在三角形 $A B C$ 中， $a = 4$ cm， $b = 6$ cm，夹角 $C = 3 5^{\circ}$ ，求三角形面积

1
代入面积公式：
2
$\text{Area} = \frac{1}{2} (4)(6) \sin 35^\circ$
3
计算结果，保留三位有效数字：
4
$\text{Area} = 12 \times 0.5736 \approx 6.88 \text{ cm}^2$

4. 选择正确的定理★★★☆☆⏱ 20 min

方法对比

你选择哪个定理完全取决于已知信息。以下是快速对比：

正弦定理

适用于AAS、ASA或SSA（两边+非夹角）

+ 优点: 计算比余弦定理更简单

− 缺点: SSA情况需要检查是否存在歧义多解

余弦定理

适用于SAS（两边+夹角）或SSS（三边）

+ 优点: 不存在歧义情况，始终得到唯一解

− 缺点: 计算步骤更多，代入错误概率更高

面积公式

已知两边和夹角时用于求面积

+ 优点: 角度已知后计算很快

− 缺点: 没有已知夹角无法直接使用

5. 常见陷阱

错误做法:

在SSA情况使用正弦定理时忘记检查第二个解

原因:

计算器对反正弦函数只返回锐角解，因此你会漏掉第二个有效的钝角解

正确做法:

始终计算 $18 0^{\circ} - arcsin (sin B)$ ，检查它与已知角度的和是否小于 $18 0^{\circ}$ ；如果有效则加入答案

错误做法:

正弦/余弦定理中错配边和对角

原因:

三角形标注错误会导致计算完全错误

正确做法:

开始解题前一定要清晰标注三角形，确认边 $a$ 始终对应对角 $A$

错误做法:

过早对中间值取近似

原因:

过早取近似会导致最终答案不准确，丢失精度分

正确做法:

所有中间步骤保留计算器全部精度，只对最终答案取近似

错误做法:

已知两边及夹角时使用正弦定理

原因:

这会增加不必要的步骤，提高出错概率

正确做法:

SAS情况直接使用余弦定理，立刻求出未知边长

错误做法:

求面积时浪费时间计算未知高

原因:

很多学生在有更简单公式可用时，仍然试图求高来使用 $\frac{1}{2} \times base \times height$

正确做法:

如果你已知两边和夹角，直接使用 $\frac{1}{2} ab sin C$

6. 速查表

已知信息	使用定理
两角+一边	正弦定理
两边+非夹角	正弦定理（检查歧义情况）
两边+夹角（求边长）	余弦定理
两边+夹角（求面积）	$\frac{1}{2} ab sin C$
三边（求角度）	余弦定理

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2022 · 1
用正弦定理求边长
2021 · 2
计算斜三角形的面积
2023 · 1
求解正弦定理的歧义多解情况

深入阅读

referenceIB AA HL 公式手册本主题的所有定理都包含在公式手册中

下一步

非直角三角形三角学是IB AA HL中所有高级三角学和向量主题的基础。你接下来会将这些定理应用到三维几何中，求解直线和平面之间的距离和角度。余弦定理也与向量点积公式直接相关，你在处理二维和三维向量时会大量用到点积。掌握选择正确定理和检查歧义情况的技能，能帮助你在课程后续更复杂的主题中避免常见错误。