# 直线与平面的交点和夹角（仅限HL）

> IB 数学 AA HL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-intersections-and-angles-between-lines/

本仅限HL学习的模块涵盖三维向量几何核心内容：求直线与平面的交点，计算直线与平面、两个相交平面之间的夹角，并配有考试风格的例题讲解。

**先修:** [三维空间中直线的向量方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-vector-equation-lines/); [平面的向量方程和笛卡尔方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-planes-equations/)

## 学习目标

- 判断直线与平面的相对位置
- 计算不平行直线与平面的交点
- 求直线与平面的锐角夹角
- 求两个相交平面之间的锐二面角

## 直线与平面的交点

**直线与平面相交的三种可能情况** — 已知参数形式的直线 $l$ 与笛卡尔方程表示的平面 $\text{\Pi}$，代入后得到关于直线参数 $t$ 的线性方程：1. $t$ 有唯一解 = 一个交点，2. $0t = k, k \neq 0$ = 直线平行于平面，无交点，3. $0t = 0$ = 直线完全落在平面内，无穷多交点

**例题:** 求直线 $\vec{r} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$ 与平面 $2x + y - 2z = 5$ 的交点

1. 根据向量形式写出直线的参数方程：
2. $$x = 1 + 2t, \quad y = 2 - t, \quad z = 3 + t$$
3. 代入平面的笛卡尔方程：
4. $$2(1+2t) + (2-t) - 2(3 + t) = 5$$
5. 展开并化简求解 $t$：
6. $$2 + 4t + 2 - t - 6 - 2t = 5 \implies -2 + t = 5 \implies t = 7$$
7. 将 $t=7$ 代回参数方程得到交点坐标：
8. $$x = 1 + 14 = 15, \quad y = 2 - 7 = -5, \quad z = 3 + 7 = 10$$
9. 验证该点满足平面方程： $2(15) + (-5) - 2(10) = 30 - 5 - 20 = 5$，等式成立，因此交点为：
10. $$(15, -5, 10)$$

> **考试提示:** 在得出无交点或无穷多交点的结论前，一定要先判断属于哪一种情况。

## 直线与平面的夹角

**线面角** — 直线与其在平面上的正交投影之间的锐角 $\theta$（范围在 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间）。计算公式使用直线的方向向量 $\vec{d}$ 和平面的法向量 $\vec{n}$。

直线与平面法向量的夹角为 $90^\circ - \theta$，因此利用两个向量夹角的点积公式可得恒等式 $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$。绝对值保证了我们得到的是锐角。

**例题:** 求直线 $\vec{r} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$ 与平面 $2x + y - 2z = 5$ 的锐角夹角

1. 确定直线的方向向量和平面的法向量：
2. $$\vec{d} = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}, \quad \vec{n} = \begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$$
3. 计算点积和模长：
4. $$\vec{d} \cdot \vec{n} = (2)(2) + (-1)(1) + (1)(-2) = 1, \quad |\vec{d}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}, \quad |\vec{n}| = 3$$
5. 代入线面角公式：
6. $$\sin\theta = \frac{|1|}{\sqrt{6} \times 3} = \frac{1}{3\sqrt{6}} \approx 0.136$$
7. 计算 $\theta$：
8. $$\theta = \arcsin(0.136) \approx 7.8^\circ \quad (\text{or } 0.136 \text{ radians})$$

> **warning**
>
> 计算线面角时永远不要用 $\cos\theta$！这是本主题最常见的错误。

## 两个相交平面的夹角

**二面角（两个平面的夹角）** — 两个相交平面之间的锐角夹角，大小等于两个平面法向量之间的锐角。对于法向量为 $\vec{n_1}$ 和 $\vec{n_2}$ 的平面，计算公式为 $\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$。

**例题:** 求平面 $\Pi_1: x + y - z = 2$ 与 $\Pi_2: 2x - y + 3z = 1$ 之间的锐角夹角

1. 从笛卡尔方程中提取法向量：
2. $$\vec{n_1} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix}, \quad \vec{n_2} = \begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 3\end{pmatrix}$$
3. 计算点积和模长：
4. $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(2) + (1)(-1) + (-1)(3) = -2, \quad |\vec{n_1}| = \sqrt{3}, \quad |\vec{n_2}| = \sqrt{14}$$
5. 代入公式（不要忘记绝对值）：
6. $$\cos\theta = \frac{| -2 |}{\sqrt{3} \sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{42}} \approx 0.309$$
7. 计算 $\theta$：
8. $$\theta = \arccos(0.309) \approx 72^\circ \quad (\text{or } 1.26 \text{ radians})$$

IB考试几乎总是要求两个平面之间的锐角。只有在题目明确要求钝角时，才可以省略绝对值。

## 常见错误

- **错误做法:** 计算线面角时误用 $\cos\theta$ 而非 $\sin\theta$
  - 原因: 你混淆了直线与法向量的夹角和线面角本身
  - 正确做法: 记住线面角使用公式 $\sin\theta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$
- **错误做法:** 忘记对点积取绝对值，导致题目要求锐角时得到了钝角
  - 原因: 法向量的点积可能为负，说明法向量之间的夹角是钝角；除非另有说明，否则二面角永远取锐角
  - 正确做法: 本主题所有角度公式中，都要对点积加上绝对值
- **错误做法:** 解出 $t$ 后就停止，没有给出交点坐标
  - 原因: 考试中赶时间，你误读了题目：题目要求的是交点，而不只是参数
  - 正确做法: 一定要将计算得到的 $t$ 代回直线的参数方程，得到最终交点坐标
- **错误做法:** 将任何不一致的结果都归为'无交点'，没有检查直线是否落在平面内
  - 原因: 你忘记了直线与平面相交有三种可能情况
  - 正确做法: 如果你得到 $0t = k$: 若 $k \neq 0$，则直线平行无交点；若 $k=0$，则直线落在平面内，有无穷多交点

## 速查表

| 概念 | 公式/方法 | 要点 |
| --- | --- | --- |
| 直线与平面相交 | 将 $x(t), y(t), z(t)$ 代入平面方程 | 三种情况：1个解 = 1个交点，$0=k≠0$ = 平行，$0=0$ = 直线在平面内 |
| 夹角：线面角 | $\sin\theta = \frac{\|\vec{d} \cdot \vec{n}\|}{\|\vec{d}\|\|\vec{n}\|}$ | $\vec{d}$ = 直线方向向量，$\vec{n}$ = 平面法向量，仅取锐角 |
| 夹角：两平面 | $\cos\theta = \frac{\|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}\|}{\|\vec{n_1}\|\|\vec{n_2}\|}$ | 二面角，除非另有说明，永远取锐角 |

## 下一步

掌握直线与平面的交点和夹角计算，是IB AA HL考试中频繁出现的所有高级三维向量几何主题的重要基础。这些技能用于解决点、直线、平面之间的最短距离问题，以及求多个平面的交点问题，这些都是试卷1和试卷2中常见的长题目。它们也是更多高级HL主题的基础，包括微积分选修中的向量积分，以及三维立体体积问题。熟练掌握这些公式和方法能为你在考试中节省大量时间。

- [点到平面的距离（仅HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-distance-from-point-to-plane/)
- [统计与概率](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u4-overview/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-intersections-and-angles-between-lines/