向量叉积（仅HL）

IB 数学：分析与方法 HL· 3.15 向量叉积· 15 分钟阅读

1. 定义与几何意义★★☆☆☆HL 专属⏱ 5 min

与返回标量的点积不同，两个三维向量的叉积返回另一个三维向量。该向量相对于两个输入向量有确定的模长和方向。

📘 定义

叉积

$a \times b$

同时垂直于 $a$ 和 $b$ 的向量，模长为 $∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ ，其中 $θ$ （ $0 \leq θ \leq π$ ）是 $a$ 与 $b$ 的夹角。方向由右手定则确定。

例:

任意两个平行向量的叉积都是零向量，因为 $sin 0 = 0$ 。

📐 例题

求 $a = 2 i$ 与 $b = 3 j$ 叉积的模长，并说明其方向。

1
首先求 $a$ （沿x轴）和 $b$ （沿y轴）的夹角： $θ = 9 0^{\circ}$ ，因此 $sin θ = 1$ 。
2
$|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta = (2)(3)(1) = 6$
3
应用右手定则：食指沿x轴，中指沿y轴，大拇指指向正z轴方向。因此方向为正z轴方向。

2. 分量形式下叉积的计算★★★☆☆HL 专属⏱ 6 min

对于分量形式给出的向量 $a = a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k$ 和 $b = b_{1} i + b_{2} j + b_{3} k$ ，我们使用三阶行列式计算叉积：

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k}

📐 例题

当 $a = 123$ ， $b = 456$ ，计算 $a \times b$ 。

1
将分量代入行列式公式：
2
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
3
沿第一行展开行列式：
4
$= \vec{i}(2 \cdot 6 - 3 \cdot 5) - \vec{j}(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) + \vec{k}(1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)$
5
$= -3\vec{i} + 6\vec{j} - 3\vec{k}$
6
验证结果：叉积必须同时垂直于两个输入向量。叉积与 $a$ 的点积为 $(- 3) (1) + (6) (2) + (- 3) (3) = 0$ ，验证了结果正确。

3. 核心代数性质★★★☆☆HL 专属⏱ 4 min

叉积满足以下核心性质，可用于化简表达式和解决问题：

反交换律: $a \times b = - b \times a$
加法分配律: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
数乘结合律: $(k a) \times b = k (a \times b)$
自身叉积: $a \times a = 0$
单位向量乘积: $i \times j = k, j \times k = i, k \times i = j$

✓ 快速检测

测试你对叉积性质的理解：

$j \times i$ 的值是多少？
- $k$
- $- k$
- $0$
- $1$
显示答案
$-\vec{k}$ —
正确：叉积满足反交换律，因此 $j \times i = - i \times j = - k$ 。
如果 $a \times b = 0$ ，这说明 $a$ 和 $b$ 有什么性质？
- 它们垂直
- 它们平行
- 它们是单位向量
- 它们模长相等
显示答案
它们平行 —
正确！ $∣ a \times b ∣ = 0$ 意味着 $sin θ = 0$ ，因此 $θ = 0$ 或 $π$ ，说明两个向量平行。

4. 几何应用★★★★☆HL 专属⏱ 5 min

叉积的模长有明确的几何意义：它等于两个输入向量张成的平行四边形的面积。这一性质在三维几何中有许多实际应用。

📘 定义

面积公式

邻边为 $a, b$ 的平行四边形面积 = $∣ a \times b ∣$ 。邻边为 $a, b$ 的三角形面积 = $\frac{1}{2} ∣ a \times b ∣$ 。叉积还可得到包含两个向量的平面的法向量。

📐 例题

求顶点为A(1, 0, 0)、B(0, 2, 0)、C(0, 0, 3)的三角形ABC的面积。

1
从同一顶点A出发找到三角形的两条边：
2
$\vec{AB} = (-1, 2, 0), \quad \vec{AC} = (-1, 0, 3)$
3
计算叉积：
4
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 6\vec{i} + 3\vec{j} + 2\vec{k}$
5
求叉积的模长：
6
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = 7$
7
三角形面积是模长的一半：
8
$\text{面积} = \frac{7}{2} = 3.5 \text{ 平方单位}$

5. 常见陷阱

错误做法:

展开叉积行列式时忘记 $j$ 项的负号

原因:

行列式第一行中间元素的代数余子式带有负号，这一点经常被遗漏

正确做法:

展开叉积行列式时始终遵循规律： $+ i (...) - j (...) + k (...)$

错误做法:

混淆叉积和点积，将结果写为标量而非向量

原因:

叉积得到向量，点积得到标量，混淆二者会导致失分

正确做法:

务必审题：要求垂直向量或面积的题目用叉积，要求角度的题目用点积

错误做法:

计算三角形面积时忘记将叉积模长减半

原因:

叉积模长是整个平行四边形的面积，不是三角形的一半面积

正确做法:

始终确认你计算面积的图形，记住 $三角形面积 = \frac{1}{2} ∣ a \times b ∣$

错误做法:

认为 $a \times b = 0$ 意味着其中一个向量是零向量

原因:

任意两个平行向量的叉积都是零，不只是其中一个为零向量时才会如此

正确做法:

如果 $a \times b = 0$ ，可得出 $a$ 和 $b$ 平行（若共点则共线）

错误做法:

对两个二维向量使用叉积求垂直向量

原因:

叉积仅对两个三维向量有定义

正确做法:

对于二维向量 $(a, b)$ ，垂直向量就是 $(- b, a)$ ，不需要使用叉积

6. 速查表

概念	公式
叉积的模长	$∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$
分量形式计算	$i a_{1} b_{1} j a_{2} b_{2} k a_{3} b_{3}$
反交换律	$a \times b = - b \times a$
向量平行条件	$a \times b = 0$
平行四边形面积	$∣ a \times b ∣$
三角形面积	$\frac{1}{2} ∣ a \times b ∣$
平面的法向量	$n = a \times b$ for two vectors in the plane

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2021 · 1
求三角形的面积
2022 · 1
判断点的共线性
2023 · 2
求平面的法向量

深入阅读

official syllabusIB AA HL 第三单元大纲官方课程参考

下一步

现在你已经掌握了向量叉积，可以将这个HL核心工具应用到更高级的涉及直线和平面的三维几何问题中。叉积是求平面方程、计算两个平面的夹角、求点到平面的距离，以及使用标量三重积（结合点积和叉积）计算平行六面体体积的基础。在IB AA HL的Paper 1和Paper 2中，几乎所有三维几何题目都需要掌握叉积计算，因此练习展开行列式并验证结果的垂直性非常重要。