# 和角与二倍角恒等式

> IB 数学：分析与方法 HL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-compound-and-double-angle-identities/

本子主题介绍核心的和角与二倍角三角恒等式。你将学习推导这些恒等式、应用它们化简表达式、证明更复杂的恒等式以及解三角方程，这些都是考试中常见的题型。

**先修:** [基础三角恒等式与勾股恒等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-basic-trigonometric-identities/); [单位圆与精确三角值](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-unit-circle-trigonometry/)

## 学习目标

- 推导和角与二倍角三角恒等式
- 应用恒等式化简三角表达式
- 使用这些公式证明复杂三角恒等式
- 使用和角/二倍角恒等式解三角方程

## 和角恒等式

**和角恒等式** — 用两个单独角度的三角函数表示这两个角度和或差的三角函数的三角恒等式

*例:* $\cos(A-B)$ written in terms of $\cos A, \cos B, \sin A, \sin B$

正弦和余弦的核心和角恒等式是本子主题所有其他恒等式的基础：

$$\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$$

$$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$$

$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

$$\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$$

对于正切，将$\sin(A \pm B)$除以$\cos(A \pm B)$可得：

$$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$$

**例题:** 求$\cos 15^\circ$的精确值。

1. 将$15^\circ$写为两个已知精确值角度的差：$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$。
2. 应用差角的余弦和角恒等式：
3. $$\cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$$
4. 代入已知精确值：
5. $$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)$$
6. 化简得到最终结果：
7. $$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

> **考试提示:** 记住符号规则：余弦变号，正弦不变号。

## 二倍角恒等式

**二倍角恒等式** — 和角恒等式当$A = B$时的特殊情况，用$A$的三角函数表示$2A$的三角函数

在和角公式中令$B = A$即可推导出二倍角恒等式。对于余弦，利用勾股恒等式$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$我们可以得到三个等价形式：

$$\sin 2A = 2\sin A \cos A$$

$$\begin{aligned} \cos 2A &= \cos^2 A - \sin^2 A \\ &= 2\cos^2 A - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2 A \end{aligned}$$

$$\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$$

> **tip**
>
> 记住$\cos 2A$的所有三种形式。选择正确的形式可以大幅简化计算，避免不必要的代数运算。

**例题:** 将$4\sin \theta \cos \theta$化简为单个倍角三角函数项。

1. 从表达式中提出因子2：
2. $$4\sin \theta \cos \theta = 2 \left(2\sin \theta \cos \theta\right)$$
3. 根据正弦二倍角恒等式可知$2\sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$：
4. $$2(\sin 2\theta) = 2\sin 2\theta$$

## 证明三角恒等式

证明恒等式是IB考试中非常常见的题型。标准方法是从恒等式中更复杂的一侧开始，应用恒等式化简直到它等于另一侧。

> **tip**
>
> 在IB考试中证明恒等式时，绝对不要将项移到等号另一边。你必须只在一侧操作，将其转化为另一侧才能得满分。

**例题:** 证明$\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \tan \theta$。

1. 从左侧（LHS）开始。为了匹配$1 - \cos 2\theta$项，选择$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$这个二倍角形式：
2. $$\text{LHS} = \frac{1 - (1 - 2\sin^2 \theta)}{\sin 2\theta}$$
3. 化简分子，然后代入$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$：
4. $$= \frac{2\sin^2 \theta}{2\sin \theta \cos \theta}$$
5. 约去公因子（$2\sin \theta$，恒等式有定义时$\sin \theta \neq 0$）：
6. $$= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta = \text{Right-hand side (RHS)}$$
7. 恒等式得证。

**概念自测**

测试你对选择哪种$\cos 2A$形式的理解：

1. 要证明$\frac{1 - \cos 2\theta}{\sin 2\theta} = \tan \theta$，哪种$\cos 2\theta$形式是最优的？

   - A. $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
   - B. $2\cos^2 \theta - 1$
   - C. $1 - 2\sin^2 \theta$

   *解析:* 正确！这个形式消去了分子中的1，留下简单的$\sin^2 \theta$项，可以和分母完美化简。

## 解三角方程

考试中大多数三角方程都包含多个角度（例如$\theta$和$2\theta$）。我们使用二倍角恒等式将整个方程改写为仅含单个角度的形式，然后按多项式或标准三角方程求解。

**例题:** 在$0 \leq \theta \leq \pi$范围内求解方程$2\sin 2\theta = \tan \theta$。

1. 代入$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$和$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$：
2. $$2(2\sin \theta \cos \theta) = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$
3. 两边同乘$\cos \theta$（$\cos \theta \neq 0$）并整理：
4. $$4\sin \theta \cos^2 \theta - \sin \theta = 0$$
5. 提出公因子$\sin \theta$：
6. $$\sin \theta (4\cos^2 \theta - 1) = 0$$
7. 令每个因子等于零并在区间内求解：$\sin \theta = 0$得$\theta = 0, \pi$。$4\cos^2 \theta -1 =0$得$\cos \theta = \pm \frac{1}{2}$，得$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$。
8. 检查可知$\cos \theta = 0$时$\theta = \frac{\pi}{2}$，这会使$\tan \theta$无定义，因此不是解。
9. 完整解集为：
10. $$\theta = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \pi$$

*计算器:* forbidden

## 常见错误

- **错误做法:** 记错$\cos(A+B)$的符号，写成$\cos A \cos B + \sin A \sin B$。
  - 原因: 余弦和角的符号与角度运算的符号相反。
  - 正确做法: 使用记忆口诀：余弦变号，正弦不变号。因此$A+B$时余弦项为负，正弦项为正。
- **错误做法:** 从方程两边约去$\sin \theta$，导致丢失解。
  - 原因: 约去操作会去掉$\sin \theta = 0$的情况，而这本身是一个有效解。
  - 正确做法: 将所有项移到一侧，提出公因子，然后令每个因子等于零找到所有解。
- **错误做法:** 错误地假设$\sin 2A = 2\sin A$。
  - 原因: 2不能从三角函数中提出来。
  - 正确做法: 记住正确恒等式：$\sin 2A = 2\sin A \cos A$，对于大多数$A$的值，它不等于$2\sin A$。
- **错误做法:** 使用错误的$\cos 2A$形式，导致不必要的复杂代数运算。
  - 原因: 没有将$\cos 2A$的形式与表达式中已有项匹配。
  - 正确做法: 选择可以消去常数或和已有项化简的$\cos 2A$形式，例如当你有$1 - \cos 2A$项时使用$1-2\sin^2 A$。
- **错误做法:** 证明恒等式时忘记排除使分母为零的点。
  - 原因: 恒等式仅在等式两边均有定义的点成立。
  - 正确做法: 始终注意恒等式仅在两边均有定义的所有值成立，排除所有使分母为零的点。

## 速查表

| 恒等式类型 | 核心公式 |
| --- | --- |
| 和角 | $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
|  | $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
|  | $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
| 二倍角 | $\sin 2A = 2\sin A \cos A$ |
|  | $\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$ |
|  | $\tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$ |

## 下一步

和角与二倍角恒等式是IB AA HL所有高级三角学的基础，出现在从积分到微分方程的各个主题中。掌握这些恒等式对于解决你在考试中遇到的几乎所有复杂三角问题都至关重要。接下来，你将把这些恒等式推广到其他形式，并应用它们解决更复杂的题型。

- [二维坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-2d-coordinate-geometry/)
- [三维坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-3d-coordinate-geometry/)
- [向量基础与点积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-vector-fundamentals-and-dot-product/)

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