# 三维坐标几何

> IB 数学：分析与方法 HL · 几何与三角学
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-3d-coordinate-geometry/

本小节讲解IB AA HL三维坐标几何的核心概念，包括三维空间中直线和平面的方程、交点、几何对象间的距离和夹角。

**先修:** [二维坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-2d-coordinate-geometry/); [向量运算与点积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-vector-algebra/)

## 学习目标

- 计算三维空间中两点间的距离和中点
- 推导并写出直线和平面的向量方程与直角坐标方程
- 求三维空间中直线与平面的交点
- 计算直线与平面间的夹角
- 计算点到直线/平面的最短距离

## 核心概念与基本公式

在三维坐标几何中，任意点都由相交于原点$(0,0,0)$的三条互相垂直的x、y、z轴上的有序三元组$(x, y, z)$表示。大多数二维坐标几何公式都可以通过添加第三个坐标项自然扩展到三维。

**两点间距离** — 两点间的直线距离，由扩展到三维的勾股定理推导而来。

*记法:* For $P_1(x_1,y_1,z_1)$ and $P_2(x_2,y_2,z_2)$

$$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$

**线段的中点** — 中点是两个端点各坐标的平均值。

$$M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$$

**例题:** 求$P(1, 2, -3)$和$Q(4, -2, 1)$之间的距离，以及线段$PQ$的中点。

1. 确定坐标并计算差值：
2. $$\Delta x = 4-1=3, \Delta y = -2-2=-4, \Delta z = 1 - (-3)=4$$
3. 代入距离公式：
4. $$d = \sqrt{3^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16+16} = \sqrt{41} \approx 6.40$$
5. 通过坐标平均计算中点：
6. $$M\left(\frac{1+4}{2}, \frac{2+(-2)}{2}, \frac{-3+1}{2}\right) = (2.5, 0, -1)$$

> **考试提示:** 计算坐标差时一定要反复检查符号，尤其是遇到负值的时候。

## 直线与平面的方程

我们可以用向量形式和直角坐标形式表示三维空间中的直线和平面，这两种形式在IB考试中都很常用。

**直线的向量方程** — 过位置向量为$\vec{a}$的点$A$、方向向量为$\vec{d}$的直线可写为：

$$\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}, \quad t \in \mathbb{R}$$

**平面的直角坐标方程** — 法向量为$\vec{n} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix}$、常数项为$d$的平面可写为：

$$n_x x + n_y y + n_z z = d$$

**例题:** 求过点$(2, 0, -1)$且法向量为$\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$的平面的直角坐标方程。

1. 我们使用形式$n_x x + n_y y + n_z z = d$，其中$n_x=3, n_y=-1, n_z=2$。
2. 将点代入方程求解$d$：
3. $$d = (3)(2) + (-1)(0) + (2)(-1) = 6 - 2 = 4$$
4. 写出最终方程：
5. $$3x - y + 2z = 4$$

> **考试提示:** 如果已知平面上的三个点，先计算平面内的两个方向向量，再对它们取叉积得到法向量，最后再求平面方程。

## 交点与夹角

考试中常见的问题包括求直线与平面的交点，或两条直线、两个平面、直线与平面之间的夹角。求交点时，将直线的参数方程代入平面方程，求解参数$t$即可。

> **info**
>
> 如果求解得到$0=0$，说明整条直线都在平面上。如果得到$0=1$这类矛盾式，说明直线与平面平行，没有交点。

**例题:** 求直线$\vec{r} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$与平面$x + 2y - z = 4$的交点。

1. 从直线方程写出参数坐标：$x = 1+t, y=2-t, z=3+t$。
2. 代入平面方程：
3. $$(1+t) + 2(2-t) - (3+t) = 4$$
4. 化简并求解$t$：
5. $$2 - 2t = 4 \implies t = -1$$
6. 代回$t=-1$得到坐标：
7. $$x=0, y=3, z=2 \implies \text{Intersection: } (0, 3, 2)$$

对于夹角，两个几何对象的夹角等于其对应向量的夹角（平面对应法向量，直线对应方向向量），用点积公式计算：$\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$。

## 最短距离计算

最常考的距离计算是点到平面的最短距离。点$(x_0,y_0,z_0)$到平面$ax + by + cz + d = 0$的距离公式为：

$$D = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

> **warning**
>
> 这个公式不在IB公式手册中，因此你必须记住它。

**例题:** 求点$(1, 1, 2)$到平面$2x - y + 3z - 8 = 0$的最短距离。

1. 确定各值：$a=2, b=-1, c=3, d=-8, x_0=1, y_0=1, z_0=2$。
2. 计算分子的绝对值：
3. $$|2(1) - 1(1) + 3(2) - 8| = |-1| = 1$$
4. 计算分母：
5. $$\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}$$
6. 最终距离：
7. $$D = \frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{14} \approx 0.267$$

## 常见错误

- **错误做法:** 当方向向量的某个分量为零时，写直线直角坐标方程时出现除以零的错误
  - 原因: 如果方向向量的某个分量为零，对应坐标是常数，除以零是无定义的
  - 正确做法: 将该坐标写为常数，例如若$d_x=0$，则在方程中添加$x=a_x$，而不是做除法
- **错误做法:** 计算两个平面的夹角时使用方向向量而非法向量
  - 原因: 两个平面的夹角定义为它们法向量的夹角，而非平面内方向向量的夹角
  - 正确做法: 计算两个平面的夹角时，始终使用两个平面的法向量
- **错误做法:** 点到平面距离公式中遗漏了分子的绝对值
  - 原因: 分子可能为负，会得到错误的负距离，导致丢分
  - 正确做法: 始终保留分子的绝对值符号，确保距离为正
- **错误做法:** 假设三维空间中所有不平行的直线都一定相交
  - 原因: 和二维不同，三维空间中存在异面直线：不平行也不相交的直线
  - 正确做法: 求交点时始终要验证是否存在一致解，无解说明直线是异面直线

## 速查表

| 概念 | 公式 |
| --- | --- |
| 两点间距离 | $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ |
| 中点 | $\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right)$ |
| 直线向量方程 | $\vec{r} = \vec{a} + t\vec{d}$ |
| 平面（直角坐标形式） | $n_x x + n_y y + n_z z = d$ |
| 点到平面的距离 | $\frac{\|ax_0 + by_0 + cz_0 + d\|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ |
| 向量间的夹角 | $\cos\theta = \frac{\|\vec{u} \cdot \vec{v}\|}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ |

## 下一步

掌握三维坐标几何对于解决IB AA HL Paper 1和Paper 2中常作为拓展解答题出现的多问向量题至关重要。本主题几乎总是和叉积这类向量代数概念结合，出现在考察多个技能的复杂问题中。扎实掌握此处的基础也能为你大学阶段进一步学习三维变换、旋转体体积和向量微积分做好准备。使用下方链接拓展你在此学到的概念。

- [向量基础与点积](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-vector-fundamentals-and-dot-product/)
- [向量叉积（仅HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-cross-product-of-vectors/)
- [直线与平面的向量方程 (仅HL)](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-vector-equations-of-lines-and/)

---

来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-3d-coordinate-geometry/