二维坐标几何

IB 数学：分析与方法 HL· 第三单元：几何与三角学· 15 分钟阅读

1. 距离与中点公式★☆☆☆☆⏱ 5 min

二维坐标平面上的任意一点都可以用有序数对 $(x, y)$ 描述，其中 $x$ 是横坐标， $y$ 是纵坐标。利用勾股定理，我们可以推导出任意两点之间的距离。

📘 定义

距离与中点

For points $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$

距离： $d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ 中点： $M (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

例:

点 $(1, 2)$ 和 $(4, 6)$ 之间的距离为5个单位，中点为 $(2.5, 4)$

📐 例题

求点 $A (- 2, 3)$ 和 $B (4, - 5)$ 之间的距离，再求线段 $A B$ 的中点 $M$ 。

1
标注坐标： $x_{1} = - 2, y_{1} = 3, x_{2} = 4, y_{2} = - 5$
2
代入距离公式：
3
$d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{100} = 10$
4
代入中点公式：
5
$M\left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}\right) = M(1, -1)$
6
最终结果：距离为10个单位，中点为 $(1, - 1)$

Exam tip:

计算坐标差值时一定要反复检查负号，这是本主题最常见的错误。

2. 直线方程★★☆☆☆⏱ 6 min

直线是满足 $x$ 和 $y$ 之间线性关系的点的集合。它的斜率描述了倾斜程度，直线可以写成三种常见形式，除非另有说明，所有形式在IB考试中都被接受。

📘 定义

平行线与垂直线

平行线永不相交，斜率相等： $m_{1} = m_{2}$ 。垂直线相交成 $9 0^{\circ}$ ，斜率乘积为 $- 1$ : $m_{1} m_{2} = - 1$ 。

常见直线形式：1. 斜截式： $y = m x + c$ ( $c$ = y轴截距), 2. 点斜式： $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , 3. 一般式： $a x + b y + c = 0$ 。

📐 例题

求过点 $(3, - 2)$ 且与 $2 x + 4 y - 5 = 0$ 垂直的直线方程，将答案写成一般式。

1
整理已知直线方程求其斜率：
2
$2x + 4y - 5 = 0 \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{4}$
3
已知直线的斜率为 $- \frac{1}{2}$ ，根据垂直线的斜率关系求所需斜率：
4
$-\frac{1}{2}m = -1 \implies m = 2$
5
代入已知点使用点斜式：
6
$y - (-2) = 2(x - 3) \implies y + 2 = 2x - 6$
7
整理为一般式：
8
$2x - y - 8 = 0$

Exam tip:

如果题目要求特定形式（例如一般式），一定要按照该形式作答才能获得满分。

3. 两直线的交点与夹角★★★☆☆⏱ 7 min

两条不同的直线要么平行（无交点），要么恰好交于一点。交点同时满足两条直线的方程，因此我们可以通过解线性方程组求出交点坐标。

斜率分别为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的两条直线之间的锐角 $θ$ 可以用由正切和角公式推导得到的公式计算：

\tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|, \quad 0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ

📐 例题

求直线 $y = 3 x + 2$ 和 $y = - x + 5$ 之间的锐角。

1
从方程中得到斜率： $m_{1} = 3$ , $m_{2} = - 1$
2
代入夹角公式：
3
$\tan\theta = \left|\frac{-1 - 3}{1 + (3)(-1)}\right| = \left|\frac{-4}{-2}\right| = 2$
4
用反正切计算 $θ$ ：
5
$\theta = \arctan(2) \approx 63.4^\circ$
6
该角度已经是锐角，因此即为所求夹角。

✓ 快速检测

测试你的理解：

两条互相垂直的直线之间的夹角是多少？
- 30°
- 45°
- 90°
- 180°
显示答案
2 —
垂直线定义为相交成直角（90°）的直线，这与夹角公式的结果一致：此时 $tan θ$ 无定义，对应90°。

4. 圆的方程★★★☆☆⏱ 6 min

圆被定义为所有到定点 $(h, k)$ （圆心）的距离为定值 $r$ （半径）的点 $(x, y)$ 的集合。我们可以直接从距离公式推导出标准方程。

📘 定义

圆的方程形式

Center $(h, k)$ , radius $r$

标准式： $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ 。一般式： $x^{2} + y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0$ ，其中圆心为 $(- g, - f)$ ，半径为 $g^{2} + f^{2} - c$ 。

📐 例题

求方程为 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$ 的圆的圆心和半径。

1
将 $x$ 项和 $y$ 项分组，把常数项移到等式右侧：
2
$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12$
3
对两个变量分别配方：
4
$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12$
5
化简得到标准式：
6
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25$
7
与标准式对比得到圆心和半径：
8
Center = $(2, - 3)$ , Radius = $25 = 5$

Exam tip:

圆的切线总是与切点处的半径垂直。这是所有圆切线考试题目都会用到的核心性质。

5. 常见陷阱

错误做法:

圆心为 $(h, k)$ 的圆错写为 $(x + h)^{2} + (y + k)^{2} = r^{2}$

原因:

从圆心坐标转换到标准方程时符号出错

正确做法:

圆心 $(h, k)$ 对应方程为 $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ 。圆心为 $(- 2, 3)$ 时方程应为 $(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}$

错误做法:

求水平线（斜率为0）的垂线时试图使用 $m_{2} = - 1/ m_{1}$

原因:

这会导致除以零，结果无定义

正确做法:

水平线（ $y = c$ ）的垂线是竖直线（ $x = k$ ），反之亦然。这些情况不要使用斜率乘积法则。

错误做法:

计算距离或半径时同时取正负根

原因:

距离和半径都是标量，始终为正

正确做法:

计算距离、半径或任意线段长度时只取正平方根。

错误做法:

保留夹角公式计算得到的负结果，最终得到钝角

原因:

该公式要求取绝对值来得到两直线之间的锐角，这也是考试要求的结果

正确做法:

计算 $arctan$ 之前一定要对分数取绝对值，这样才能得到0°到90°之间的角度。

6. 速查表

概念	公式
点 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 之间的距离	$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$
线段的中点	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
直线的斜率	$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$
平行线	$m_{1} = m_{2}$
垂直线	$m_{1} m_{2} = - 1$
圆（圆心 $(h, k)$ ，半径 $r$ ）	$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$
两直线之间的锐角	$tan θ = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}}$

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
直线与圆的交点
2024 · 2
两条直线的夹角
2023 · 1
圆的切线方程

深入阅读

syllabusIB AA HL 官方大纲完整的主题说明

下一步

二维坐标几何是IB AA HL所有高阶几何主题的基础，包括三维坐标几何、二维和三维向量以及圆锥曲线。掌握这里的基础公式和解题模式会让你更容易解决高维中涉及交点、切线和距离的更复杂问题。IB考试中很多题目会将二维坐标几何与微积分（求曲线切线）和三角学结合，因此扎实掌握本主题是取得高分的必要条件。