# 三角恒等式

> IB 数学：分析与方法 HL · 第二单元：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-trigonometric-identities/

本子主题介绍IB AA HL的核心三角恒等式，包括勾股恒等式、倒数恒等式、商恒等式、复角恒等式和二倍角恒等式，这些恒等式用于化简表达式、证明关系和解决三角问题。

**先修:** [三角函数的单位圆定义](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-unit-circle-trig/); [正弦、余弦和正切的基本性质](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-trigonometric-functions/)

## 学习目标

- 记忆并应用勾股恒等式、倒数恒等式、商恒等式、复角恒等式和二倍角恒等式
- 化简三角表达式并证明三角恒等式
- 利用恒等式解三角方程并求精确值

## 基础三角恒等式

最基础的恒等式直接由正弦和余弦的单位圆定义推导而来。对任意角$\theta$，单位圆上的点坐标为$(\cos\theta, \sin\theta)$，因此根据勾股定理我们得到核心勾股恒等式。

**勾股恒等式** — 由单位圆勾股关系推导得到的三个相关核心恒等式

*记法:* 对所有函数有定义的$\theta$成立

*例:* $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$, $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

其他基础恒等式包括倒数恒等式和商恒等式，它们直接由倒数三角函数的定义得到：

- 倒数：$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$, $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$, $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$
- 商：$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

**例题:** 化简表达式$\frac{(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta)}{\cos^2\theta}$，并说明所有定义域限制。

1. 利用平方差公式展开分子：
2. $$(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta) = 1 - \sin^2\theta$$
3. 利用核心勾股恒等式重写分子：
4. $$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$$
5. 代回并化简，注意定义域限制：
6. $$\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = 1, \quad \cos\theta \neq 0$$

> **考试提示:** 务必说明原表达式无定义处的定义域限制；阅卷官通常会给这一步打分。

## 复角恒等式

复角恒等式将两个角和或差的三角函数与两个角各自的三角函数联系起来。一个常见错误是假设线性性：$\sin(A+B) \neq \sin A + \sin B$，因此请务必使用正式恒等式。

**复角恒等式** — 用$A$和$B$的三角函数表示$A \pm B$的三角函数的恒等式

*例:* $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

- $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
- $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
- $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

**例题:** 利用复角恒等式求$\cos(15^\circ)$的精确值。

1. 将$15^\circ$写成两个已知精确三角函数值的角的差：
2. $$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$$
3. 代入余弦差角恒等式：
4. $$\cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$$$
5. 代入已知精确值并化简：
6. $$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

## 二倍角恒等式

二倍角恒等式是复角恒等式的特殊情况，当$A = B = \theta$时，我们得到以$\theta$的函数表示$2\theta$三角函数的表达式，可以直接从复角公式推导得到。

**推导:** 推导$\sin 2\theta$的二倍角恒等式

*起点:* 正弦复角加法定理 $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

1. 令$A = B = \theta$，因此$\sin 2\theta = \sin(\theta + \theta)$
2. $$\sin(\theta + \theta) = \sin\theta \cos\theta + \cos\theta \sin\theta$$$
3. 合并右侧的同类项

*结论:* $\sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta$

对于余弦二倍角，有三种等价形式，通过将勾股恒等式代入基本形式推导得到。它们对方程求解和后续积分都非常有用。

- 基本形式：$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta$
- 仅用余弦表示：$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
- 仅用正弦表示：$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$
- 正切二倍角：$\tan 2\theta = \frac{2 \tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

**例题:** 将$\sin\theta \cos\theta$改写为二倍角三角函数的形式。

1. 从标准正弦二倍角恒等式出发：
2. $$\sin 2\theta = 2 \sin\theta \cos\theta$$$
3. 整理得到$\sin\theta \cos\theta$的表达式：
4. $$\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta$$$

> **tip**
>
> 余弦二倍角恒等式的整理形式在本课程后续积分中被广泛用于降次正弦和余弦的幂次。

## 证明三角恒等式

证明三角恒等式是考试中的常见题型。标准策略是从等式更复杂的一侧出发，利用已知恒等式逐步化简，将其变换为更简单的一侧。

**考试命令词**

三角恒等式考题中的指令术语"Prove that"（证明）有明确的考试要求：

- **Prove that** — 展示完整的逐步代数变换，利用恒等式确认等式两边相等 *(满分要求展示所有中间步骤；跳过步骤会失分)*

**例题:** 证明$\frac{1 - \tan^2\theta}{1 + \tan^2\theta} = \cos 2\theta$。

1. 从左侧（LHS）出发，利用勾股恒等式$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$：
2. $$\text{LHS} = \frac{1 - \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}}{\sec^2\theta}$$
3. 代入$\sec^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}$，并将分子分母同乘$\cos^2\theta$：
4. $$= \frac{\cos^2\theta - \sin^2\theta}{\frac{1}{\cos^2\theta} \cdot \cos^2\theta} = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$$
5. 利用余弦二倍角恒等式得到右侧（RHS）：
6. $$\cos^2\theta - \sin^2\theta = \cos 2\theta = \text{RHS}$$
7. 恒等式得证。

> **warning**
>
> 不要将恒等式当作普通方程，在两边之间移动项。这是循环论证，因为你在证明前就假设恒等式成立，会因此失分。

## 常见错误

- **错误做法:** 错写为$\sin(A+B) = \sin A + \sin B$或$\cos(A+B) = \cos A + \cos B$
  - 原因: 三角函数不是线性的，因此这个常见假设是错误的
  - 正确做法: 对于角的和差，始终使用完整的复角恒等式
- **错误做法:** 化简表达式时忘记说明定义域限制
  - 原因: 化简后的表达式可能比原表达式定义在更多值上，因此没有限制的话恒等式不完全正确
  - 正确做法: 务必标注所有使原表达式无定义的$\theta$值（例如分母为$\cos\theta$时，要求$\cos\theta \neq 0$）
- **错误做法:** 混淆余弦复角公式中的符号
  - 原因: 第二项的符号与$A$和$B$之间的符号相反，很容易记错
  - 正确做法: 记住规则：对于$\cos(A \pm B)$，第二项符号相反：$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$
- **错误做法:** 证明恒等式时同时对两边进行操作
  - 原因: 这会在证明前就隐含假设恒等式成立，属于循环论证
  - 正确做法: 仅从更复杂的一侧出发，逐步变换得到另一侧
- **错误做法:** 将$\sin^2\theta$写为$\sin \theta^2$
  - 原因: 这个记法有歧义：$\sin(\theta^2)$和$(\sin \theta)^2$不是同一个概念
  - 正确做法: 始终将$(\sin \theta)^2$写为$\sin^2\theta$以避免混淆

## 速查表

| 恒等式类型 | 核心公式 |
| --- | --- |
| 基础 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$; $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$; $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ |
| 复角 | $\sin(A\pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$; $\cos(A\pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| 二倍角（正弦） | $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ |
| 二倍角（余弦） | $\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| 二倍角（正切） | $\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |

## 下一步

三角恒等式是IB AA HL中几乎所有后续三角主题的基础工具，从解三角方程到三角函数积分，再处理复数的极坐标形式都要用到。掌握这些恒等式对试卷1和试卷2都至关重要，因为它们会出现在许多不同主题的考题中，甚至在纯三角学之外的领域也会出现。接下来，你将应用这些恒等式来解三角方程，并学习反三角函数。

- [函数性质：奇偶性与周期性](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-function-properties-parity-and-periodicity/)
- [求解函数方程与不等式](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-solving-function-equations-and-inequalities/)
- [几何与三角学](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u3-overview/)

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