函数变换

IB 数学 AA HL· 5 分钟阅读

1. 垂直平移与水平平移★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

平移

Vertical: $y = f (x) + a$ , Horizontal: $y = f (x + a)$

平移将图像上所有点沿垂直或水平方向移动恒定距离，不改变形状和方向。

📐 例题

已知 $f (x) = x^{2}$ ，写出 $f (x)$ 向上平移3个单位、向左平移2个单位后的方程。

1
确定垂直平移的效果：向上平移3个单位等价于在整个函数上加3，给出来 $y = f (x) + 3$ 。
2
确定水平平移的效果：向左平移2个单位意味着我们将 $x$ 替换为 $x + 2$ ，给出来 $y = f (x + 2) + 3$ 。
3
代入 $f (x) = x^{2}$ 得到最终方程：
4
$y = (x+2)^2 + 3$

Exam tip:

水平平移的方向是考试中最常见的错误，一定要反复检查。

2. 沿坐标轴反射★★☆☆☆⏱ 10 min

📘 定义

反射

Over x-axis: $y = - f (x)$ , Over y-axis: $y = f (- x)$

反射将图像沿一条直线（通常是x轴或y轴）翻转得到镜像，不改变形状。

📐 例题

从y轴截距为 $(0, 1)$ 的 $y = e^{x}$ 出发，求 $y = - e^{x} + 2$ 的y轴截距坐标。

1
沿x轴反射（ $y = - e^{x}$ ）会翻转所有y坐标的符号，因此原截距 $(0, 1)$ 变为 $(0, - 1)$ 。
2
向上垂直平移2个单位会给y坐标加2，因此：
3
$(0, -1 + 2) = (0, 1)$

✓ 快速检测

$f (x) = sin x$ 沿y轴反射后的方程是什么？

选择正确的方程
- $y = - sin x$
- $y = sin (- x)$
- $y = sin (x - 1)$
显示答案
1 —
正确！沿y轴反射会将 $x$ 替换为 $- x$ 。

3. 拉伸与压缩★★★☆☆⏱ 15 min

📘 定义

拉伸与压缩

Vertical stretch by $a$ : $y = a f (x)$ , Horizontal stretch by $a$ : $y = f (\frac{x}{a})$

按恒定比例因子缩放图像的变换。比例因子 >1 时为拉伸，0<比例因子<1时为压缩。

📐 例题

原函数是 $f (x) = x^{3}$ ，求 $g (x) = (2 x)^{3}$ 的水平比例因子是多少？

1
将 $g (x)$ 改写为符合水平拉伸标准形式： $g (x) = f (2 x) = f (\frac{x}{a})$ 。
2
令x的系数相等： $\frac{1}{a} = 2$ ，因此求解 $a$ ：
3
$a = \frac{1}{2}$

Exam tip:

一定要确认题目要求的是垂直还是水平比例因子，二者经常被混淆。

4. 复合变换★★★★☆⏱ 20 min

应用多个变换时，顺序很重要。IB考试的标准顺序遵循BIDMAS：对于函数内部（水平）和外部（垂直）的变换，先做拉伸/反射，再做平移。

📐 例题

求 $f (x) = x^{2}$ 按以下顺序变换后的方程：1. 垂直方向按比例因子2拉伸，2. 向下平移1个单位，3. 向右平移3个单位。

1
先应用垂直拉伸：将 $f (x)$ 乘以2，给出来 $y = 2 x^{2}$ 。
2
接下来向下平移1个单位：在函数上减1，给出来 $y = 2 x^{2} - 1$ 。
3
最后向右平移3个单位：将 $x$ 替换为 $x - 3$ ，给出来最终方程：
4
$y = 2(x-3)^2 - 1$

5. 常见陷阱

错误做法:

认为 $f (x + 2)$ 将图像向右平移2个单位

原因:

混淆了水平变换的方向，水平变换直接作用于输入 $x$

正确做法:

$f (x + a)$ 当 $a > 0$ 时向左平移 $a$ 个单位， $a < 0$ 时向右平移

错误做法:

复合变换中先做平移再做拉伸

原因:

颠倒了运算顺序，会得到错误的最终方程

正确做法:

无论是水平还是垂直变换，都要先做拉伸/反射，再做平移

错误做法:

认为 $f (2 x)$ 是水平方向按比例因子2拉伸

原因:

忽略了水平变换系数的反向关系

正确做法:

对于 $k > 1$ ， $f (k x)$ 是水平方向按 $\frac{1}{k}$ 压缩

错误做法:

垂直拉伸只拉伸y值为正的部分

原因:

错误认为拉伸不会影响x轴下方的点

正确做法:

每个y坐标都要乘以比例因子，因此所有点无论位置如何都被拉伸

错误做法:

颠倒函数内部和外部变换的顺序

原因:

在完成所有水平变换前就应用了垂直变换

正确做法:

先完成所有函数内部（作用于 $x$ ）的变换，再做函数外部（作用于 $y$ ）的变换

6. 速查表

变换类型	方程	对图像的影响
垂直平移	$y = f (x) + a, a > 0$	向上平移 $a$ 个单位
垂直平移	$y = f (x) + a, a < 0$	向下平移 $∣ a ∣$ 个单位
水平平移	$y = f (x + a), a > 0$	向左平移 $a$ 个单位
水平平移	$y = f (x + a), a < 0$	向右平移 $∣ a ∣$ 个单位
沿x轴反射	$y = - f (x)$	沿x轴翻转，y符号反转
沿y轴反射	$y = f (- x)$	沿y轴翻转，x符号反转
垂直拉伸	$y = a f (x), a > 1$	垂直方向按 $a$ 拉伸
垂直压缩	$y = a f (x), 0 < a < 1$	垂直方向按 $a$ 压缩
水平拉伸	$y = f (\frac{x}{a}), a > 1$	水平方向按 $a$ 拉伸
水平压缩	$y = f (a x), a > 1$	水平方向按 $\frac{1}{a}$ 压缩

7. 常见问题

为什么水平变换的效果和我预期的相反？

水平变换直接作用于输入 $x$ 。要得到和原函数相同的输出值，你需要反转操作。例如，对于 $f (x + 2)$ ，要得到输出 $f (5)$ ，你需要输入 $x = 3$ ，所以点向左移动2个单位。

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2025 · 1
求变换后的函数方程
2023 · 2
绘制复合变换的图像
2021 · 1
多个变换的顺序

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下一步

掌握函数变换是整个IB AA HL课程都会用到的基础技能。你会用变换从基本原函数构造复杂函数，变换对绘制多项式、三角函数、指数函数、对数函数和反比例函数都至关重要。变换经常作为1卷和2卷大题的一部分出现，因此掌握运算顺序和水平变换的方向对考试成功至关重要。