# 函数变换

> IB 数学 AA HL · 单元 2：函数
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-transformations-of-functions/

本模块涵盖IB AA HL所有核心函数变换：平移、反射、拉伸和复合变换。你将学习变换如何影响函数的方程和图像，掌握多个变换的正确顺序。

**先修:** [函数符号与定义域/值域](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-introduction-to-functions/); 绘制基本原函数的图像

## 学习目标

- 识别并应用所有核心类型的函数变换
- 区分水平变换和垂直变换的不同影响
- 根据原函数求出变换后函数的方程
- 绘制变换后的图像并正确标注关键特征
- 按正确顺序应用多个变换

## 垂直平移与水平平移

**平移** — 平移将图像上所有点沿垂直或水平方向移动恒定距离，不改变形状和方向。

*记法:* Vertical: $y = f(x) + a$, Horizontal: $y = f(x+a)$

**例题:** 已知$f(x) = x^2$，写出$f(x)$向上平移3个单位、向左平移2个单位后的方程。

1. 确定垂直平移的效果：向上平移3个单位等价于在整个函数上加3，给出来$y = f(x) + 3$。
2. 确定水平平移的效果：向左平移2个单位意味着我们将$x$替换为$x+2$，给出来$y = f(x+2) + 3$。
3. 代入$f(x) = x^2$得到最终方程：
4. $$y = (x+2)^2 + 3$$

> **tip**
>
> 水平平移的符号始终与写法相反：$f(x+a)$向左平移$a$个单位，$f(x-a)$向右平移$a$个单位。

> **考试提示:** 水平平移的方向是考试中最常见的错误，一定要反复检查。

## 沿坐标轴反射

**反射** — 反射将图像沿一条直线（通常是x轴或y轴）翻转得到镜像，不改变形状。

*记法:* Over x-axis: $y = -f(x)$, Over y-axis: $y = f(-x)$

**例题:** 从y轴截距为$(0,1)$的$y = e^x$出发，求$y = -e^x + 2$的y轴截距坐标。

1. 沿x轴反射（$y=-e^x$）会翻转所有y坐标的符号，因此原截距$(0,1)$变为$(0,-1)$。
2. 向上垂直平移2个单位会给y坐标加2，因此：
3. $$(0, -1 + 2) = (0, 1)$$

**概念自测**

$f(x) = \sin x$沿y轴反射后的方程是什么？

1. 选择正确的方程

   - $y = -\sin x$
   - $y = \sin(-x)$
   - $y = \sin(x-1)$

   *答案:* $y = \sin(-x)$

   *解析:* 正确！沿y轴反射会将$x$替换为$-x$。

## 拉伸与压缩

**拉伸与压缩** — 按恒定比例因子缩放图像的变换。比例因子 >1 时为拉伸，0<比例因子<1时为压缩。

*记法:* Vertical stretch by $a$: $y = a f(x)$, Horizontal stretch by $a$: $y = f\left(\frac{x}{a}\right)$

**例题:** 原函数是$f(x) = x^3$，求$g(x) = (2x)^3$的水平比例因子是多少？

1. 将$g(x)$改写为符合水平拉伸标准形式：$g(x) = f(2x) = f\left(\frac{x}{a}\right)$。
2. 令x的系数相等：$\frac{1}{a} = 2$，因此求解$a$：
3. $$a = \frac{1}{2}$$

> **tip**
>
> 同样，水平变换是反向的：对于$k>1$，$f(kx)$是水平方向按$\frac{1}{k}$压缩。

> **考试提示:** 一定要确认题目要求的是垂直还是水平比例因子，二者经常被混淆。

## 复合变换

应用多个变换时，顺序很重要。IB考试的标准顺序遵循BIDMAS：对于函数内部（水平）和外部（垂直）的变换，先做拉伸/反射，再做平移。

**例题:** 求$f(x) = x^2$按以下顺序变换后的方程：1. 垂直方向按比例因子2拉伸，2. 向下平移1个单位，3. 向右平移3个单位。

1. 先应用垂直拉伸：将$f(x)$乘以2，给出来$y = 2x^2$。
2. 接下来向下平移1个单位：在函数上减1，给出来$y = 2x^2 - 1$。
3. 最后向右平移3个单位：将$x$替换为$x-3$，给出来最终方程：
4. $$y = 2(x-3)^2 - 1$$

**考试命令词**

- **Show that** — 你必须展示每一个变换步骤才能得满分，即使你已经知道最终答案

- **Sketch** — 你必须标注变换后图像的所有关键点（截距、极值点、渐近线）

## 常见错误

- **错误做法:** 认为$f(x+2)$将图像向右平移2个单位
  - 原因: 混淆了水平变换的方向，水平变换直接作用于输入$x$
  - 正确做法: $f(x+a)$当$a>0$时向左平移$a$个单位，$a<0$时向右平移
- **错误做法:** 复合变换中先做平移再做拉伸
  - 原因: 颠倒了运算顺序，会得到错误的最终方程
  - 正确做法: 无论是水平还是垂直变换，都要先做拉伸/反射，再做平移
- **错误做法:** 认为$f(2x)$是水平方向按比例因子2拉伸
  - 原因: 忽略了水平变换系数的反向关系
  - 正确做法: 对于$k>1$，$f(kx)$是水平方向按$\frac{1}{k}$压缩
- **错误做法:** 垂直拉伸只拉伸y值为正的部分
  - 原因: 错误认为拉伸不会影响x轴下方的点
  - 正确做法: 每个y坐标都要乘以比例因子，因此所有点无论位置如何都被拉伸
- **错误做法:** 颠倒函数内部和外部变换的顺序
  - 原因: 在完成所有水平变换前就应用了垂直变换
  - 正确做法: 先完成所有函数内部（作用于$x$）的变换，再做函数外部（作用于$y$）的变换

## 速查表

| 变换类型 | 方程 | 对图像的影响 |
| --- | --- | --- |
| 垂直平移 | $y = f(x) + a, a>0$ | 向上平移$a$个单位 |
| 垂直平移 | $y = f(x) + a, a<0$ | 向下平移$\|a\|$个单位 |
| 水平平移 | $y = f(x+a), a>0$ | 向左平移$a$个单位 |
| 水平平移 | $y = f(x+a), a<0$ | 向右平移$\|a\|$个单位 |
| 沿x轴反射 | $y = -f(x)$ | 沿x轴翻转，y符号反转 |
| 沿y轴反射 | $y = f(-x)$ | 沿y轴翻转，x符号反转 |
| 垂直拉伸 | $y = a f(x), a>1$ | 垂直方向按$a$拉伸 |
| 垂直压缩 | $y = a f(x), 0<a<1$ | 垂直方向按$a$压缩 |
| 水平拉伸 | $y = f(\frac{x}{a}), a>1$ | 水平方向按$a$拉伸 |
| 水平压缩 | $y = f(a x), a>1$ | 水平方向按$\frac{1}{a}$压缩 |

## 下一步

掌握函数变换是整个IB AA HL课程都会用到的基础技能。你会用变换从基本原函数构造复杂函数，变换对绘制多项式、三角函数、指数函数、对数函数和反比例函数都至关重要。变换经常作为1卷和2卷大题的一部分出现，因此掌握运算顺序和水平变换的方向对考试成功至关重要。

- [一次函数与二次函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-linear-and-quadratic-functions/)
- [多项式与有理函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-polynomial-and-rational-functions/)
- [指数函数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-transformations-of-functions/