多项式与有理函数

IB 数学：分析与方法 HL· 5 分钟阅读

1. 多项式：定义与核心定理★★☆☆☆⏱ 15 min

📘 定义

多项式函数

P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

该函数中 $n$ 为非负整数， $a_{i}$ 为实常数，且 $a_{n} \neq = 0$ 。首项为 $a_{n} x^{n}$ ， $n$ 就是该多项式的次数（ $de g (P)$ ）。

例:

$P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 7$ 是一个三次多项式。

📘 定义

余数定理与因式定理

当 $P (x)$ 除以 $(x - c)$ 时，余数等于 $P (c)$ 。若 $P (c) = 0$ ，则 $(x - c)$ 是 $P (x)$ 的一个因式（这就是因式定理）。

📐 例题

求 $P (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - 5$ 除以 $(x - 2)$ 的余数。

1
根据余数定理，余数等于 $P (2)$ 。
2
将 $x = 2$ 代入 $P (x)$ ：
3
$P(2) = 3(2)^4 - 2(2)^3 + (2)^2 - 5$
4
$= 3(16) - 2(8) + 4 - 5 = 48 - 16 + 4 - 5 = 31$
5
余数为31。

2. 因式分解与求根★★★☆☆⏱ 20 min

根据代数基本定理，在复数域内，n次多项式恰好有n个根（计重数）。对于实系数多项式，复根以共轭对形式出现。

📘 定义

根的重数

若 $(x - c)^{k}$ 是 $P (x)$ 的因式，但 $(x - c)^{k + 1}$ 不是，则c是k重根。

📐 例题

已知 $x = 2$ 是 $P (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ 的二重根，将其完全因式分解。

1
因为 $x = 2$ 是二重根，所以 $(x - 2)^{2}$ 是因式。 $P (x)$ 是三次多项式，因此剩余因式是一次式： $(a x + b)$ 。
2
$P(x) = (x^2 - 4x + 4)(ax + b) = ax^3 + (b - 4a)x^2 + (4a - 4b)x + 4b$
3
与原多项式比较系数：
4
首项系数： $a = 1$ ，常数项： $4 b = 12 \to b = 3$ 。验证其他系数： $b - 4 a = 3 - 4 = - 1$ （与 $x^{2}$ 项系数匹配）， $4 a - 4 b = 4 - 12 = - 8$ （与 $x$ 项系数匹配）。
5
最终因式分解结果：
6
$P(x) = (x - 2)^2(x + 3)$

✓ 快速检测

方程 $2 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 10 = 0$ 的根之和是多少？
- -3
- 3
- -6
- 6
显示答案
1 —
根据韦达定理，对于三次方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ ，根之和为 $- b / a = - (- 6) /2 = 3$ 。

3. 有理函数：渐近线与洞★★★☆☆⏱ 20 min

📘 定义

有理函数

R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

可表示为两个多项式 $P (x)$ （分子）与 $Q (x)$ （分母，不为零多项式）之比的函数。定义域不包含 $Q (x)$ 的所有根。

垂直渐近线：出现在分母的非分子公共根处。公共根会产生洞，而非渐近线。
水平渐近线：若 $de g (P) < de g (Q)$ ，渐近线为 $y = 0$ 。若 $de g (P) = de g (Q)$ ，渐近线为 $y = \frac{P 的首项系数}{Q 的首项系数}$ 。若 $de g (P) > de g (Q)$ ，则不存在水平渐近线。
斜渐近线：当 $de g (P) = de g (Q) + 1$ 时存在，可通过多项式长除法求得。

📐 例题

求 $R (x) = \frac{2 x ^{2} - 2 x - 12}{x ^{2} - 4 x + 3}$ 的所有渐近线。

1
对分子分母因式分解：
2
$R(x) = \frac{2(x-3)(x+2)}{(x-1)(x-3)}$
3
公因子 $(x - 3)$ 说明在 $x = 3$ 处是一个洞，而非垂直渐近线。化简得 $R (x) = \frac{2 ( x + 2 )}{x - 1}, x \neq = 3$ 。
4
化简后分母的根 $x = 1$ 处为垂直渐近线。
5
分子分母次数相等，因此水平渐近线为 $y = 2/1 = 2$ 。
6
最终结果：垂直渐近线 $x = 1$ ，水平渐近线 $y = 2$ ，洞在 $(3, 5)$ 处。

4. 图像绘制★★★★☆⏱ 25 min

图像绘制题要求你标注所有关键特征：截距、根（含重数对应的行为）、极值点、渐近线和端点行为。对于多项式，端点行为由首项决定：

偶次多项式：两端方向相同（首项系数为正两端向上，为负两端向下）
奇次多项式：两端方向相反（首项系数为正右端向上，为负右端向下）
根处行为：奇重根→图像穿过x轴；偶重根→图像与x轴相切后转向

📐 例题

绘制 $P (x) = x (x + 1) (x - 2)^{2}$ 的图像。

1
次数为 $1 + 1 + 2 = 4$ ，首项系数为正，因此图像两端都向上。
2
根： $x = - 1$ （一重根，穿过）， $x = 0$ （一重根，穿过）， $x = 2$ （二重根，相切）。
3
y截距在 $P (0) = 0$ 处，因此图像过原点。
4
检查每个区间内 $P (x)$ 的符号： $x < - 1$ （正）， $- 1 < x < 0$ （负）， $0 < x < 2$ （负）， $x > 2$ （正）。连接各点，体现出在 $- 1$ 和 $0$ 处穿过，在 $2$ 处相切，两端向上即可。

Exam tip:

在IB考试中，图像绘制题通常占4-6分，因此请合理分配时间。

5. 常见陷阱

错误做法:

将分子分母的公共根误认为垂直渐近线而非洞

原因:

IB考官明确会考察洞和渐近线的区别

正确做法:

一定要先对两个多项式因式分解，消去公因子后再确定渐近线，并标注所有洞的位置

错误做法:

当分子分母次数相等时，用常数项而非首项系数计算水平渐近线

原因:

混淆了截距公式和渐近线法则

正确做法:

记住：水平渐近线由首项决定，而非常数项

错误做法:

忘记重数会影响图像在根处的行为

原因:

只关注根的位置，不关注重数

正确做法:

记住：奇重根穿过x轴，偶重根与x轴相切

错误做法:

因为图像在有限x处穿过渐近线，就认为渐近线不存在

原因:

误解了渐近线描述的是端点行为，而非完全不能相交

正确做法:

只有垂直渐近线不能被穿过；水平和斜渐近线可以在有限x处被穿过

错误做法:

认为奇次多项式的所有根都是实根

原因:

记错了代数基本定理，该定理仅保证奇次多项式至少有一个实根

正确做法:

在确定实根个数前，用有理根定理或笛卡儿符号法则检验可能的根

6. 速查表

特征	多项式法则	有理函数法则
次数	$n =$ x的最高次幂	无标准次数定义
垂直渐近线	无	化简后分母的根
水平渐近线	无	$de g (P) < de g (Q) \to y = 0$ ; $de g (P) = de g (Q) \to y = \frac{a _{n}}{b _{m}}$ ; else none
斜渐近线	无	当 $de g (P) = de g (Q) + 1$ 时存在，由长除法得到
根处行为	奇重根：穿过x轴；偶重根：相切	分子的根遵循相同法则
端点行为	由首项决定	由分子和分母的首项共同决定

真题中的出现

AI 根据考纲规律估算的考点位置,请对照官方真题核实准确性。仅作复习重点参考。

2023 · 1
求三次多项式的根
2022 · 2
绘制有理函数的图像
2021 · 1
余数定理计算

深入阅读

syllabusIB AA HL 大纲主题 2

下一步

多项式与有理函数是IB AA HL几乎所有其他主题的基础，从微分积分到复数和统计建模都是如此。掌握求根、因式分解和图像性质对于求解多项式方程、用部分分式积分有理函数，以及分析本主题之外各类函数的端点行为都至关重要。IB考官经常将这些性质与微积分结合考察，因此扎实掌握这里的内容会帮你在考试中节省时间并拿到分数。