# 多项式与有理函数

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-polynomial-and-rational-functions/

本子主题涵盖任意次数多项式和有理函数的核心性质，包括求根、因式分解、渐近线识别和图像绘制，这些内容经常出现在IB AA HL的试卷1和试卷2中。

**先修:** [二次函数与方程](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-quadratic-functions/); [基本函数变换](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-function-transformations/)

## 学习目标

- 识别任意次数多项式函数的关键性质
- 利用核心定理求根并对多项式因式分解
- 确定有理函数的渐近线、洞和截距
- 绘制准确的多项式与有理函数图像

## 多项式：定义与核心定理

**多项式函数** — 该函数中$n$为非负整数，$a_i$为实常数，且$a_n \neq 0$。首项为$a_n x^n$，$n$就是该多项式的次数（$\deg(P)$）。

*记法:* P(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

*例:* $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7$是一个三次多项式。

**余数定理与因式定理** — 当$P(x)$除以$(x - c)$时，余数等于$P(c)$。若$P(c) = 0$，则$(x - c)$是$P(x)$的一个因式（这就是因式定理）。

**例题:** 求$P(x) = 3x^4 - 2x^3 + x^2 - 5$除以$(x - 2)$的余数。

1. 根据余数定理，余数等于$P(2)$。
2. 将$x=2$代入$P(x)$：
3. $$P(2) = 3(2)^4 - 2(2)^3 + (2)^2 - 5$$
4. $$= 3(16) - 2(8) + 4 - 5 = 48 - 16 + 4 - 5 = 31$$
5. 余数为31。

> **tip**
>
> 在余数问题中使用余数定理代替长除法，可以在考试中节省时间。

## 因式分解与求根

根据代数基本定理，在复数域内，n次多项式恰好有n个根（计重数）。对于实系数多项式，复根以共轭对形式出现。

**根的重数** — 若$(x-c)^k$是$P(x)$的因式，但$(x-c)^{k+1}$不是，则c是k重根。

**例题:** 已知$x=2$是$P(x) = x^3 - x^2 - 8x + 12$的二重根，将其完全因式分解。

1. 因为$x=2$是二重根，所以$(x-2)^2$是因式。$P(x)$是三次多项式，因此剩余因式是一次式：$(ax + b)$。
2. $$P(x) = (x^2 - 4x + 4)(ax + b) = ax^3 + (b - 4a)x^2 + (4a - 4b)x + 4b$$
3. 与原多项式比较系数：
4. 首项系数：$a = 1$，常数项：$4b = 12 \rightarrow b=3$。验证其他系数：$b - 4a = 3 - 4 = -1$（与$x^2$项系数匹配），$4a - 4b = 4 - 12 = -8$（与$x$项系数匹配）。
5. 最终因式分解结果：
6. $$P(x) = (x - 2)^2(x + 3)$$

**概念自测**

1. 方程$2x^3 - 6x^2 + 4x - 10 = 0$的根之和是多少？

   - -3
   - 3
   - -6
   - 6

   *答案:* 3

   *解析:* 根据韦达定理，对于三次方程$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$，根之和为$-b/a = -(-6)/2 = 3$。

## 有理函数：渐近线与洞

**有理函数** — 可表示为两个多项式$P(x)$（分子）与$Q(x)$（分母，不为零多项式）之比的函数。定义域不包含$Q(x)$的所有根。

*记法:* R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

1. **垂直渐近线**：出现在分母的非分子公共根处。公共根会产生*洞*，而非渐近线。
2. **水平渐近线**：若$\deg(P) < \deg(Q)$，渐近线为$y=0$。若$\deg(P) = \deg(Q)$，渐近线为$y = \frac{\text{P的首项系数}}{\text{Q的首项系数}}$。若$\deg(P) > \deg(Q)$，则不存在水平渐近线。
3. **斜渐近线**：当$\deg(P) = \deg(Q) + 1$时存在，可通过多项式长除法求得。

**例题:** 求$R(x) = \frac{2x^2 - 2x - 12}{x^2 - 4x + 3}$的所有渐近线。

1. 对分子分母因式分解：
2. $$R(x) = \frac{2(x-3)(x+2)}{(x-1)(x-3)}$$
3. 公因子$(x-3)$说明在$x=3$处是一个洞，而非垂直渐近线。化简得$R(x) = \frac{2(x+2)}{x-1}, x \neq 3$。
4. 化简后分母的根$x=1$处为垂直渐近线。
5. 分子分母次数相等，因此水平渐近线为$y = 2/1 = 2$。
6. 最终结果：垂直渐近线$x=1$，水平渐近线$y=2$，洞在$(3, 5)$处。

## 图像绘制

图像绘制题要求你标注所有关键特征：截距、根（含重数对应的行为）、极值点、渐近线和端点行为。对于多项式，端点行为由首项决定：

- 偶次多项式：两端方向相同（首项系数为正两端向上，为负两端向下）
- 奇次多项式：两端方向相反（首项系数为正右端向上，为负右端向下）
- 根处行为：奇重根→图像穿过x轴；偶重根→图像与x轴相切后转向

**例题:** 绘制$P(x) = x(x+1)(x-2)^2$的图像。

1. 次数为$1+1+2 = 4$，首项系数为正，因此图像两端都向上。
2. 根：$x=-1$（一重根，穿过），$x=0$（一重根，穿过），$x=2$（二重根，相切）。
3. y截距在$P(0) = 0$处，因此图像过原点。
4. 检查每个区间内$P(x)$的符号：$x<-1$（正），$-1<x<0$（负），$0<x<2$（负），$x>2$（正）。连接各点，体现出在$-1$和$0$处穿过，在$2$处相切，两端向上即可。

> **考试提示**
>
> 一定要在草图上标注所有截距、根和渐近线。即使形状正确，未标注的关键特征也会扣分。

> **考试提示:** 在IB考试中，图像绘制题通常占4-6分，因此请合理分配时间。

## 常见错误

- **错误做法:** 将分子分母的公共根误认为垂直渐近线而非洞
  - 原因: IB考官明确会考察洞和渐近线的区别
  - 正确做法: 一定要先对两个多项式因式分解，消去公因子后再确定渐近线，并标注所有洞的位置
- **错误做法:** 当分子分母次数相等时，用常数项而非首项系数计算水平渐近线
  - 原因: 混淆了截距公式和渐近线法则
  - 正确做法: 记住：水平渐近线由首项决定，而非常数项
- **错误做法:** 忘记重数会影响图像在根处的行为
  - 原因: 只关注根的位置，不关注重数
  - 正确做法: 记住：奇重根穿过x轴，偶重根与x轴相切
- **错误做法:** 因为图像在有限x处穿过渐近线，就认为渐近线不存在
  - 原因: 误解了渐近线描述的是端点行为，而非完全不能相交
  - 正确做法: 只有垂直渐近线不能被穿过；水平和斜渐近线可以在有限x处被穿过
- **错误做法:** 认为奇次多项式的所有根都是实根
  - 原因: 记错了代数基本定理，该定理仅保证奇次多项式至少有一个实根
  - 正确做法: 在确定实根个数前，用有理根定理或笛卡儿符号法则检验可能的根

## 速查表

| 特征 | 多项式法则 | 有理函数法则 |
| --- | --- | --- |
| 次数 | $n = $x的最高次幂 | 无标准次数定义 |
| 垂直渐近线 | 无 | 化简后分母的根 |
| 水平渐近线 | 无 | $\deg(P) < \deg(Q) \rightarrow y=0$; $\deg(P) = \deg(Q) \rightarrow y = \frac{a_n}{b_m}$; else none |
| 斜渐近线 | 无 | 当$\deg(P) = \deg(Q)+1$时存在，由长除法得到 |
| 根处行为 | 奇重根：穿过x轴；偶重根：相切 | 分子的根遵循相同法则 |
| 端点行为 | 由首项决定 | 由分子和分母的首项共同决定 |

## 下一步

多项式与有理函数是IB AA HL几乎所有其他主题的基础，从微分积分到复数和统计建模都是如此。掌握求根、因式分解和图像性质对于求解多项式方程、用部分分式积分有理函数，以及分析本主题之外各类函数的端点行为都至关重要。IB考官经常将这些性质与微积分结合考察，因此扎实掌握这里的内容会帮你在考试中节省时间并拿到分数。

- [指数函数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/)
- [基础三角函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-basic-trigonometric-functions/)
- [反三角函数（仅HL）](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-inverse-trigonometric-functions/)

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