# 函数

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL 2021+
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-overview/
> 占比: 占考试总分的22-24%

本单元涵盖所有核心函数概念，从基础定义到常见函数类型的性质、代数运算，再到函数相关问题的求解。函数是IB AA HL中所有分析和微积分的基础，因此本单元是最重要的核心单元之一。

**先修:** [完成IB AA HL第一单元：代数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-overview/)

## 学习目标

- 定义、分类并分析所有常见函数类型的关键性质
- 对函数进行代数运算，包括复合、反函数和变换
- 求解涉及所有核心函数族的方程和不等式
- 运用函数概念为实际问题和抽象数学问题建模

## 单元概览

我们将从基础定义逐步推进到仅HL要求的高级内容，逐步构建你的知识工具包。我们首先讲解核心定义和基本运算，然后探索每个主要函数族，最后讲解一般性质和问题求解。

本单元的知识点在试卷1和试卷2中都占很大分值，并且是本课程几乎所有其他单元（包括微积分、微分方程和建模）的基础。掌握本单元是取得高分的关键。

以下是本单元按学习顺序排列的所有子主题：
- [函数定义与符号](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-function-definitions-and-notation/) — 学习函数的正式定义和使用函数的标准符号。
- [定义域与值域](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-domain-and-range/) — 计算任意函数（包括定义域受限的函数）的定义域和值域。
- [复合函数与反函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-composite-and-inverse-functions/) — 将函数组合为复合函数，并在存在反函数时求出其反函数。
- [函数变换](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-transformations-of-functions/) — 对任意函数及其图像进行平移、伸缩和反射变换。
- [一次函数与二次函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-linear-and-quadratic-functions/) — 复习并探究一次函数和二次函数的关键性质。
- [多项式函数与有理函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-polynomial-and-rational-functions/) — 分析多项式函数和有理函数的根、渐近线和图像。
- [指数函数与对数函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/) — 探究指数函数与对数函数之间的反函数关系及其性质。
- [基本三角函数](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-basic-trigonometric-functions/) — 分析六种基本三角函数的图像、定义域、值域和关键性质。
- [反三角函数（仅HL）](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-inverse-trigonometric-functions/) — 仅HL要求的内容，涵盖反三角函数的定义、受限定义域和性质。
- [三角恒等式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-trigonometric-identities/) — 学习并运用核心三角恒等式来化简表达式和求解方程。
- [函数性质：奇偶性与周期性](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-function-properties-parity-and-periodicity/) — 分析函数的奇偶性和周期性这两个一般性质。
- [求解函数方程与不等式](https://www.owlsprep.com/study/ib-math-aa-hl-u2-solving-function-equations-and-inequalities/) — 求解涉及本单元所讲所有函数类型的方程和不等式。

## 常见错误

- **错误做法:** 忘记检查复合函数或反函数的定义域
  - 原因: 大多数学生只计算新函数的表达式，忽略了受限定义域，导致整题答案错误
  - 正确做法: 对于任何通过复合或求逆得到的新函数，务必写出其完整定义域
- **错误做法:** 混淆$f(kx + c)$水平变换的顺序
  - 原因: 输入变换的运算顺序经常是反过来的，这会导致平移或伸缩错误
  - 正确做法: 先提出$x$的系数得到$f(k(x + c/k))$，先进行伸缩变换，再进行平移
- **错误做法:** 求解对数方程或有理方程时忽略定义域约束
  - 原因: 这会产生不满足原方程的增根
  - 正确做法: 最终确定答案前，务必将所有解代入原函数的定义域进行检验

## 速查表

| 概念/性质 | 核心法则/公式 |
| --- | --- |
| 反函数 | $f(f^{-1}(x)) = x$, 图像是$f(x)$关于$y=x$的对称图形 |
| 一般函数变换 | $af(b(x-h)) + k$: $a$ = 竖直伸缩，$b$ = 水平伸缩，$h$ = 水平平移，$k$ = 竖直平移 |
| 复合函数 | $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, 定义域是所有满足$g(x) \in dom(f)$的$x \in dom(g)$ |
| 对数核心法则 | $\log(ab) = \log a + \log b$, $\log(a/b) = \log a - \log b$, $\log a^b = b\log a$ |
| 勾股恒等式 | $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ |
| 指数对数转换 | $a^x = b \iff x = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$ |
| 偶函数/奇函数 | 偶函数: $f(-x) = f(x)$ (关于y轴对称); 奇函数: $f(-x) = -f(x)$ (关于原点对称) |
| 余数定理 | $p(x)$除以$(x-a)$的余数等于$p(a)$ |

## 下一步

从第一个子主题「函数定义与符号」开始学习本单元，构建扎实的基础。当你完成本函数单元的所有子主题后，就可以进入下一单元「几何与三角学」的第一个子主题学习。

- [函数定义与符号](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-function-definitions-and-notation/)
- [定义域与值域](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-domain-and-range/)
- [复合函数与反函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-composite-and-inverse-functions/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-overview/