# 一次函数与二次函数

> IB 数学：分析与方法 HL · IB AA HL
> 来源: https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-linear-and-quadratic-functions/

本子主题涵盖了一次（一次多项式）和二次（二次多项式）多项式函数的核心性质、它们的图像、关键代数特征，以及 IB AA HL 考试中这类问题的常用解题方法。

**先修:** [基础坐标几何](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u1-coordinate-geometry/); [多项式导论](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-polynomial-introduction/)

## 学习目标

- 根据关键特征或两个点求一次函数的方程
- 在标准式、顶点式和因式分解式之间转换二次函数
- 识别二次函数的所有关键特征（截距、顶点、根）
- 利用判别式判断直线与二次函数的实交点个数

## 一次函数

**一次函数** — 一次多项式函数，图像为一条直线。$m$ 是恒定斜率，$c$ 是 y 轴截距（即直线与 y 轴交点的纵坐标）。

*记法:* f(x) = mx + c

*例:* $f(x) = 3x - 2$ 的斜率为 3，与 y 轴交于 $(0, -2)$。

求过两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 的直线方程时，先计算斜率 $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，再将一个点和 $m$ 代入 $y = mx + c$ 求解 $c$。

**例题:** 求过点 $(3, 7)$ 和 $(1, 1)$ 的直线方程。

1. 根据两点计算斜率：
2. $$m = \frac{1 - 7}{1 - 3} = \frac{-6}{-2} = 3$$
3. 代入 $m=3$ 和 $(x,y) = (1,1)$ 求 $c$：
4. $$1 = 3(1) + c \implies c = 1 - 3 = -2$$
5. 写出最终的直线方程：
6. $$y = 3x - 2$$

> **考试提示:** 一定要把第二个点代入最终方程验证，确认你的答案正确。

## 二次函数：形式与关键特征

**二次函数** — 二次多项式函数，图像为抛物线。首项系数 $a$ 决定开口方向：$a>0$ 开口向上，$a<0$ 开口向下。

*记法:* Standard: $f(x) = ax^2 + bx + c$; Vertex: $f(x) = a(x-h)^2 +k$; Factored: $f(x) = a(x-p)(x-q)$

二次函数的每种形式对应展示不同的关键特征：标准式直接给出 y 轴截距 $(0,c)$，顶点式直接给出转折点（顶点）坐标 $(h,k)$，因式分解式直接给出根（x 轴截距）在 $x=p$ 和 $x=q$。要从标准式转换为顶点式，需要使用配方法。

**例题:** 将 $f(x) = 3x^2 - 12x + 5$ 转换为顶点式，并写出顶点坐标。

1. 将首项系数提出 x 项：
2. $$f(x) = 3(x^2 - 4x) + 5$$
3. 在括号内通过加减 x 系数一半的平方完成配方：
4. $$x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x-2)^2 - 4$$
5. 代回并化简，记住将常数项乘以 3：
6. $$f(x) = 3\left((x-2)^2 - 4\right) + 5 = 3(x-2)^2 - 12 + 5 = 3(x-2)^2 - 7$$
7. 从顶点式写出顶点坐标：
8. $$\text{Vertex} = (2, -7)$$

> **tip**
>
> 配方法是一项核心技能，你在后续课程学习积分和求质心时会再次用到，所以要多加练习直到能熟练运用。

## 交点与判别式

求直线与二次函数的交点时，将两个 y 的表达式相等，得到一个关于 x 的一元二次方程，该方程的判别式决定了实交点的个数。

**判别式** — 用于判断一元二次方程实根个数的值，规则为：$\Delta > 0$ = 2 个不同的实根，$\Delta = 0$ = 1 个重实根，$\Delta < 0$ = 0 个实根。

*记法:* \Delta = b^2 - 4ac$ for $ax^2 + bx + c = 0$

**例题:** 求 $y = 2x + 3$ 与 $y = 2x^2 - 3x + 1$ 的交点个数。

1. 将两个 y 的表达式相等：
2. $$2x + 3 = 2x^2 - 3x + 1$$
3. 整理为标准一元二次方程形式：
4. $$2x^2 - 5x - 2 = 0$$
5. 代入 $a=2$、$b=-5$、$c=-2$ 计算判别式：
6. $$\Delta = (-5)^2 - 4(2)(-2) = 25 + 16 = 41$$
7. 解释结果：
8. $$\Delta = 41 > 0 \implies \text{2 个不同的实交点}$$

**概念自测**

测试你对判别式规则的理解：

1. 一条直线与抛物线相切，得到的一元二次方程的判别式是多少？

   - 负数
   - 零
   - 正数

   *解析:* 切线与抛物线恰好交于一点，因此有一个重根，对应判别式为零。

2. 一个二次方程的判别式为 -9，它有多少个实根？

   - 0
   - 1
   - 2

   *解析:* 判别式为负意味着没有实根，只有两个复根。

## 常见错误

- **错误做法:** 把斜率公式写成 $\frac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$，而非正确的 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
  - 原因: 这会得到正确斜率的倒数，导致直线方程错误，丢失分数
  - 正确做法: 记住斜率 = 升高/水平移动，即 y 的变化量除以 x 的变化量
- **错误做法:** 配方法时忘记将常数项乘首项系数
  - 原因: 当你从 x 项中提出 $a$ 后，展开时括号内减去的常数必须乘以 $a$
  - 正确做法: 一定要把最终得到的顶点式展开回标准式，验证它和原二次函数一致
- **错误做法:** 从顶点式 $a(x-h)^2 +k$ 中错误地将顶点 x 坐标读为 $-h$
  - 原因: 顶点出现在括号等于零处：$x-h = 0 \implies x=h$，而非 $x=-h$
  - 正确做法: 一定要令括号项等于零来求顶点的 x 坐标，避免符号错误
- **错误做法:** 即使判别式为负，仍然声称有两个交点
  - 原因: IB 考试经常考察你是否记住判别式为负意味着没有实交点
  - 正确做法: 当被问及交点或根的个数时，一定要计算并明确提及判别式
- **错误做法:** 从标准式 $ax^2 +bx +c$ 中把 y 截距错当成 $b$ 而非 $c$
  - 原因: 当 $x=0$ 时，所有含 x 的项都消去了，因此 $f(0) = c$，而非 $b$
  - 正确做法: 如果你不确定，代入 $x=0$ 到二次函数中验证 y 截距即可

## 速查表

| 概念 | 形式/规则 | 关键特征 |
| --- | --- | --- |
| 一次函数 | $y = mx + c$ | $m$ = 斜率，$c$ = y 截距 |
| 二次函数（标准式） | $y = ax^2 +bx +c$ | y 截距为 $(0, c)$ |
| 二次函数（顶点式） | $y = a(x-h)^2 +k$ | 顶点为 $(h, k)$ |
| 二次函数（因式分解式） | $y = a(x-p)(x-q)$ | 根为 $x=p, x=q$ |
| 判别式 | $\Delta = b^2 - 4ac$ | $\Delta>0$：2 个根；$\Delta=0$：1 个根；$\Delta<0$：0 个实根 |

## 下一步

一次函数与二次函数是你在 IB AA HL 中会遇到的所有高次多项式和更复杂函数的基础。你在这里学到的技巧，从配方法到使用判别式，会在微积分、复数和一般多项式函数等主题中反复用到。理解如何求交点和图像关键特征对于解决方程组和优化问题也必不可少，这些问题在 P1 和 P2 考试中都很常见。接下来，你将在此基础上探索更复杂的多项式函数及其性质。

- [多项式与有理函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-polynomial-and-rational-functions/)
- [指数函数与对数函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-exponential-and-logarithmic-functions/)
- [基础三角函数](https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-basic-trigonometric-functions/)

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来自 [OwlsPrep](https://www.owlsprep.com) —— A-Level / IB / AP / IGCSE 免费学习指南，依据官方考纲编写。原页面：https://www.owlsprep.com/zh/study/ib-math-aa-hl-u2-linear-and-quadratic-functions/